Question

17．一宇航員到達半徑為R、密度均勻的某星球表面，做如下實驗：用不可伸長的輕繩拴一質量為m的小球，上端固定在O點，如圖1所示，在最低點給小球某一初速度，使其繞O點的豎直面內做圓周運動，測得繩的拉力F大小隨時間t的變化規律如圖2所示．F₁=7F₂．設R、m、引力常量G以及F₁為已知量，忽略各種阻力說法正確的是（　　）

• A． 該星球表面的重力加速度為$\frac{{F}_{1}}{7m}$
• B． 衛星繞該星球的第一宇宙速度為$\sqrt{\frac{Gm}{R}}$
• C． 該星球的質量為$\frac{{F}_{1}{R}^{2}}{7Gm}$
• D． 小球在圓周運動過程中，加速度方向始終指向圓心，角速度大小不斷變化

Answer 1

分析 對砝碼受力分析，在最高點和最低點時，由向心力的公式和整個過程的機械能守恒可以求得重力加速度的大小；
根據萬有引力提供向心力可以求得星球的第一宇宙速度．
求得星球表面的重力加速度的大小，再由在星球表面時，萬有引力和重力近似相等，可以求得星球的質量．

解答 解：A、設砝碼在最低點時細線的拉力為F₁，速度為v₁，由牛頓第二定律得：F₁-mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$…①
設砝碼在最高點細線的拉力為F₂，速度為v₂，由牛頓第二定律得：F₂+mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$…②
由機械能守恒定律得 mg•2r+$\frac{1}{2}$mv₂²=$\frac{1}{2}$mv₁² …③由①②③解得：g=$\frac{{F}_{1}-{F}_{2}}{6m}$…④
已知：F₁=7F₂，所以該星球表面的重力加速度為：$\frac{{F}_{1}}{7m}$，故A正確．
B、根據萬有引力提供向心力得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，衛星繞該星球的第一宇宙速度為：v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，故B錯誤．
C、在星球表面，萬有引力近似等于重力：G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=m′g…⑤，由④⑤解得：M=$\frac{{F}_{1}{R}^{2}}{7Gm}$，故C正確；
D、小球在圓周運動過程中，加速度方向始終指向圓心，運動過程線速度v不斷變化而軌道半徑r不變，由v=ωr可知，小球的角速度不斷變化，故D錯誤；
故選：AC．

點評 根據做圓周運動時在最高點和最低點的運動規律，找出向心力的大小，可以求得重力加速度，
知道在星球表面時，萬有引力和重力近似相等，而貼著星球的表面做圓周運動時，物體的重力就作為做圓周運動的向心力．