Question

在地面上固定有一足夠長的粗糙木板，一物體以一定的速度在木板上滑行，經時間t₁停止運動，將該木板放置成傾角為θ的斜面，該物體從斜面頂端以相同初速度沿斜面向下開始運動后，經時間t₂在斜面上停止運動．若該物體從斜面底端以同樣大小的初速度沿斜面往上運動，則它在斜面上能運動多久？

Answer 1

設初速度為v，則在水平面上運動的加速度a₁=

f

m

=μg，
將該木板放置成傾角為θ的斜面，向下滑動，最終在斜面上停止運動，知重力的分力小于滑動摩擦力，所以加速度的大小為：a2=

μmgcosθ-mgsinθ

m

=μgcosθ-gsinθ．
物體在底端以同樣大小的初速度沿斜面往上運動，最終停在斜面上，向上運動的加速度大小：
a3=

mgsinθ+μmgcosθ

m

=gsinθ+μgcosθ．
因為初速度相等，有a₁t₁=a₂t₂，則

μg

μgcosθ-gsinθ

=

t2

t1

，解得：μ=

t2sinθ

t2cosθ-t1

．
設物體向上滑動的時間為t₃，
則有：a₃t₃=a₁t₁
則：t3=

a1t1

a3

=

μgt1

gsinθ+μgcosθ

=

t1t2sinθ t2cosθ-t1

sinθ+ t2cosθsinθ t2cosθ-t1

．
答：物體從斜面底端以同樣大小的初速度沿斜面往上運動，則它在斜面上能運動

t1t2sinθ t2cosθ-t1

sinθ+ t2cosθsinθ t2cosθ-t1

．