Question

4．如圖所示，傾角為45°的粗糙斜面AB，其底端B與半徑為R=0.8m的光滑圓軌道相切，O點是軌道的圓心，E是軌道的最低點，C點是軌道的最高點．質量為m=1kg的小球從斜面的A點由靜止開始下滑，從圓軌道的最高點C水平飛出，落到斜面上的D點，D與O點等高，g=10m/s²，求：
（1）小球在斜面上克服摩擦力所做的功；
（2）小球在經過圓軌道的最低點E時對軌道的壓力．

Answer 1

分析 （1）小球離開C點后做平拋運動，由高度和水平位移求出小球通過C點時的速度，再對A到C過程，運用動能定理求小球在斜面上克服摩擦力所做的功；
（2）由機械能守恒求出小球在經過圓軌道的最低點E時的速度，再由牛頓運動定律求小球對軌道的壓力．

解答 解：（1）小球離開C點后做平拋運動，則有：
R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
$\sqrt{2}$R=v_Ct
解得：v_C=$\sqrt{gR}$
設小球在斜面上克服摩擦力所做的功為W．對A到C的過程，由動能定理得：
-W+mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
解得：W=$\frac{1}{2}$mgR
（2）從E到C，由機械能守恒定律得：
2mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{E}^{2}$
在E點，由牛頓第二定律得：N-mg=m$\frac{{v}_{E}^{2}}{R}$
聯立解得：N=6mg
由牛頓第三定律知小球在經過圓軌道的最低點E時對軌道的壓力N′=N=6mg，方向豎直向下．
答：（1）小球在斜面上克服摩擦力所做的功是$\frac{1}{2}$mgR；
（2）小球在經過圓軌道的最低點E時對軌道的壓力是6mg，方向豎直向下．

點評 本題是動能定理與向心力、平拋運動及幾何知識的綜合，要注意挖掘隱含的臨界條件，運用幾何知識求解平拋運動的水平位移．