Question

15．如圖所示，在光滑絕緣的水平桌面上建立一直角坐標系XOY，水平桌面處在周期性變化的電場和磁場中，電場和磁場的變化規律如圖乙所示（規定沿X軸正方向為電場強度E的正方向，豎直向下為磁感應強度B的正方向）．在t=0時刻，一質量為m=10g、電荷量為q=0.1C的帶正電金屬小球自坐標原點O處以大小v₀=2m/s的速度沿X軸正方向射出．已知E=0.2N/C，B=0.1πT．求：
（1）t=1s末，金屬小球速度的大小；
（2）1s～2s內，金屬小球在磁場中做圓周運動的周期T和半徑R；
（3）6s內金屬小球運動離X軸、Y軸的最大距離s_X和s_Y．

Answer 1

分析 （1）第一秒內粒子做類似平拋運動，根據牛頓第二定律和運動學公式列式求解；
（2）根據洛倫茲力提供向心力列式求解軌道半徑，由圓周運動公式求得周期；
（3）先求出5s末的位置坐標和速度大小和方向，再求出第6s內的軌道半徑，畫出軌跡，最后求離x軸最遠距離

解答 解：（1）在0～1s內，金屬小球在電場力作用下，在x軸方向上做勻速運動v_x=v₀
y方向做勻加速運動${v}_{y}^{\;}=\frac{q{E}_{0}^{\;}}{m}{t}_{1}^{\;}$=$\frac{0.2×0.1}{10×1{0}_{\;}^{-3}}×1m/s=2m/s$
1s末粒子的速度${v}_{1}^{\;}=\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}=2\sqrt{2}m/s$
（2）設v₁與x軸正方向的夾角為α，則$tanα=\frac{{v}_{y}^{\;}}{{v}_{x}^{\;}}$=$\frac{2}{2}=1$
 得  α=45°．
在1～2s內，粒子在磁場中做圓周運動，由牛頓第二定律
$q{v}_{1}^{\;}{B}_{0}^{\;}=m\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}^{\;}}$
得${R}_{1}^{\;}=\frac{m{v}_{1}^{\;}}{q{B}_{0}^{\;}}=\frac{10×1{0}_{\;}^{-3}×2\sqrt{2}}{0.1×0.1π}=\frac{2\sqrt{2}}{π}m$
粒子做圓周運動的周期：$T=\frac{2πm}{q{B}_{0}^{\;}}=\frac{2π×10×1{0}_{\;}^{-3}}{0.1×0.1π}$=2s
（3）畫出粒子運動的軌跡如圖所示，

第1s內的位移${x}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}=\frac{1}{2}\frac{q{E}_{0}^{\;}}{m}{t}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}×\frac{0.1×0.2}{10×1{0}_{\;}^{-3}}×{1}_{\;}^{2}=1m$
小球在6s內運動到離X軸的最大距離${S}_{X}^{\;}=2{R}_{1}^{\;}=\frac{4\sqrt{2}}{π}m$
運動到離Y軸的最大距離${S}_{Y}^{\;}=3{x}_{1}^{\;}+R=3+\frac{2\sqrt{2}}{π}m$
答：（1）t=1s末，金屬小球速度的大小$2\sqrt{2}m/s$；
（2）1s～2s內，金屬小球在磁場中做圓周運動的周期T為2s和半徑R為$\frac{2\sqrt{2}}{π}m$；
（3）6s內金屬小球運動離X軸、Y軸的最大距離${S}_{X}^{\;}$為$\frac{4\sqrt{2}}{π}m$和${S}_{Y}^{\;}$為（$3+\frac{2\sqrt{2}}{π}$）m

點評 本題中粒子奇數秒內做類似平拋運動，偶數秒內做勻速圓周運動，關鍵是畫出運動軌跡并根據平拋運動規律和勻速圓周運動規律列式分析．