Question

水上滑梯可簡化成如圖所示的模型：傾角為θ=37°斜滑道AB和水平滑道BC平滑連接，起點A距水面的高度H=7.0m，BC長d=2.0m，端點C距水面的高度h=1.0m．一質量m=50kg的運動員從滑道起點A點無初速地自由滑下，運動員與AB、BC間的動摩擦因數均為μ=0.10，（cos37°=0.8，sin37°=0.6，運動員在運動過程中可視為質點）求：
（1）運動員沿AB下滑時加速度的大小a；
（2）運動員從A滑到C的過程中克服摩擦力所做的功W和到達C點時速度的大小υ；
（3）保持水平滑道端點在同一豎直線上，調節水平滑道高度h和長度d到圖中B′C′位置時，運動員從滑梯平拋到水面的水平位移最大，求此時滑道B′C′距水面的高度h′．

Answer 1

分析：（1）運動員沿AB下滑時，受到重力mg、支持力和滑動摩擦力，根據牛頓第二定律求解加速度．
（2）運動員從A滑到C的過程中，克服摩擦力做功為W=μmgcosθ（

H-h

sinθ

）+μmgd=μmg[d+（H-h）cotθ]．根據動能定理求解到達C點時速度的大小υ；
（3）運動員從A滑到C的過程中，克服摩擦力做功W保持不變，根據動能定理得到運動員滑到C點時的速度大小．從C到水平地面，運動員做平拋運動，由平拋運動的規律得到水平位移h′的關系式，由數學知識求解水平位移最大時h′的值．

解答：解：（1）運動員沿AB下滑時，受力情況如圖所示

F_f=μF_N=μmgcosθ
根據牛頓第二定律：mgsinθ-μmgcosθ=ma
得運動員沿AB下滑時加速度的大小為：
   a=gsinθ-μgcosθ=5.2 m/s² 
（2）運動員從A滑到C的過程中，克服摩擦力做功為：
W=μmgcosθ（

H-h

sinθ

）+μmgd=μmg[d+（H-h）cotθ]=500J
由動能定理得  mg（H-h）-W=

1

2

mv2，
得運動員滑到C點時速度的大小  v=10 m/s    
（3）在從C點滑出至落到水面的過程中，運動員做平拋運動的時間為t，
由h′=

1

2

gt2，得  t=

2h′ g

下滑過程中克服摩擦做功保持不變  W=500J
根據動能定理得：
   mg（H-h′）-W=

1

2

mv2，
解得  v=

2g(H-1-h′)

運動員在水平方向的位移：
  x=vt=

2g(H-1-h′)

?

2h′ g

=

4(H-1-h′)h′

當h′=

H-1

2

=3m時，水平位移最大 
答：
（ 1）運動員沿AB下滑時加速度的大小a是5.2 m/s²；
（2）運動員從A滑到C的過程中克服摩擦力所做的功W為500J，到達C點時速度的大小υ為10m/s；
（3）滑道B′C′距水面的高度h′為3m時，水平位移最大．

點評：本題中關鍵之處要抓住滑動摩擦力做功W=μmg[d+（H-h）cotθ]，與AC間水平位移大小成正比，AC間水平位移不變，W不變．第3問得到水平位移x與h′的關系式，根據數學知識求解極大值的條件．