Question

如圖所示，空間存在一個方向垂直桌面向下的磁場．現將質量為m、邊長為L的正方形線框MNPQ，靜止放在光滑絕緣足夠大的水平桌面上，PQ邊與y軸重合．MN邊的電阻為R₁，PQ邊的電阻為R₂，線框其余部分電阻不計．
（1）若磁場隨時間的變化規律為B_t=B₀+kt（k為大于零的已知常數），求線框中感應電流的大小和方向．
（2）若磁場不隨時間變化，而是按照下列情況分布：磁感應強度沿y軸方向均勻分布，沿x軸方向按規律B_x=kx變化（k為大于零的已知常數），線框從t=0時刻、以初速度ν₀由圖示位置向x軸正方向平動．求在圖示位置線框所受安培力的大小和方向．
（3）在第（2）問中，若R₁=2R₂，求在整個運動過程中，電阻R₁產生的焦耳熱．

Answer 1

分析：1、由電動勢的定義式求電動勢，由楞次定律判斷電流方向；
2、先計算出感應電動勢和感應電流，再由安培力公式求安培力；
3、由動能定理或能量關系求產生的熱量．

解答：解：（1）根據法拉第電磁感應定律可知：E=

△Φ

△t

=L2

△B

△t

=kL2
感應電流的大小為：I=

E

R1+R2

=

kL2

R1+R2

感應電流的方向沿NPQMN．                               
（2）MN處的磁感應強度為kL，所以MN切割產生的電動勢為：E=BLv₀=kL²v₀，
PQ處磁感應強度為0，所以其產生的電動勢也為0，
因此線框中的感應電動勢為：E=kL²v₀
線框中的感應電流為：I=

E

R1+R2

=

kL2v0

R1+R2

線框受的安培力方向沿-x方向（或水平向左）                   
安培力大小為：F=LIB=

k2L4v0

R1+R2

（3）線框最終停止，根據能量關系，線框中產生的焦耳熱為：Q=

1

2

m

v

2 0

電阻R₁產生的焦耳熱為：QR1=

R1

R1+R2

Q=

1

3

m

v

2 0

答：（1）線框中感應電流的大小為

kL2

R1+R2

，感應電流的方向沿NPQMN．
（2）在圖示位置線框所受安培力的大小為

k2L4v0

R1+R2

，線框受的安培力方向沿-x方向．
（3）在整個運動過程中，電阻R₁產生的焦耳熱為

1

3

m

v

2 0

．

點評：本題是道綜合性較強的題目，運用了法拉第電磁感應定律，動能定理等知識點，要細心閱讀題目，仔細計算．