Question

在某電視臺游樂節目“闖關”中，選手需要借助懸掛在高處的繩飛越到水面的浮臺上，如圖所示．一選手先從傾角可調整的光滑斜面下滑到懸繩處，然后抓住繩開始擺動，擺動到最低點放手恰能到達平臺．此繩初時與豎直方向夾角α=30°，與斜面垂直，繩長L=2m，繩的懸掛點O距水面的高度為H=3m．將選手簡化為質量m=60kg的質點，不考慮空氣阻力和繩的質量，浮臺離繩的懸掛點水平距離4m，露出水面的高度不計，水足夠深．取重力加速度g=10m/s²．
（1）求選手在斜面上下滑的高度h；
（2）求選手擺到最低點時對繩拉力的大小F；
（3）如果斜面的傾角增大，該選手下滑高度不變，仍擺動到最低點放手，能否到達平臺？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）人從斜面下滑過程，支持力不做功，只有重力做功，機械能守恒；人離開斜面到放手過程，繩子拉力不做功，只有重力做功，機械能依然守恒；人松開繩子后做平拋運動；根據機械能守恒定律和平拋運動的位移公式列式求解即可；
（2）選手到最低點時，受重力和繩子的拉力，合力提供向心力，根據向心力公式和牛頓第二定律列式求解即可；
（3）斜面傾角變大，選手離開斜面時，速度不再沿著圓弧的切線方向，故速度會有損耗，無法到達浮臺．

解答：解：（1）滑到斜面低端的速度為V，由機械能守恒得：
mgh=

1

2

m

V

2 1

       ①
人抓繩時速度與繩垂直，抓繩后速度不變，擺到最低點時的速度為V₂，由機械能守恒得：
mgl(1-cosθ)=

1

2

m

V

2 2

-

1

2

m

V

2 1

       ②
放手的人做平拋運動，下落時間為t，水平距離為S=4m，由平拋運動規律得：
t=

2(H-l) g

       ③
S=V₂t              ④
代入數據聯立求解得：h=2+

3

=3.73m
故選手在斜面上下滑的高度h約為3.73m．
（2）在最低點做圓周運動，由牛頓定律得：
F-mg=

m V 2 2

l

解得
F=3000N
故選手擺到最低點時對繩拉力的大小F為300N．
（3）不能．
如果斜面傾角增大與繩初時位置如圖所示，在沿繩和垂直于繩方向上分量V₃、V₄，人抓繩后V₃消失，只剩V₄，小于V₁，仍擺動到最低點放手水平速度小于V₂，不能到達平臺．

點評：本題關鍵是：（1）明確各個運動過程的運動特點，機械能是否守恒；（2）明確向心力來源；（3）明確各個過程連接點的速度變化情況．