Question

18．某赤道平面內的衛星自西向東飛行繞地球做圓周運動，該衛星離地高度為h，赤道上某人通過觀測，前后兩次出現在人的正上方最小時間間隔為t，已知地球的自轉周期為T₀，地球的質量為M，引力常量為G，由此可知（　　）

• A． 地球的半徑為$\root{3}{\frac{GM（t-{T}_{0}）^{2}}{4{π}^{2}}}$
• B． 地球的半徑為$\root{3}{\frac{GM{t}^{2}{{T}_{0}}^{2}}{4{π}^{2}（t+{T}_{0}）^{2}}}$
• C． 該衛星的運行周期為t-T₀
• D． 該衛星運行周期為$\frac{t{T}_{0}}{t+{T}_{0}}$

Answer 1

分析 根據萬有引力提供向心力公式，結合前后兩次出現在人的正上方時，正好多轉動一圈，從而列式，即可求解．

解答 解：根據赤道平面內的衛星繞地球做圓周運動，由萬有引力提供向心力，則有：$\frac{GMm′}{（R+h）^{2}}=m′（R+h）（\frac{2π}{T}）^{2}$
解得：R=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-h，
設衛星的周期為T，則有：$\frac{t}{T}-\frac{t}{{T}_{0}}$=1，解得：T=$\frac{t{T}_{0}}{t+{T}_{0}}$，
因此R=$\root{3}{\frac{GM{t}^{2}{{T}_{0}}^{2}}{4{π}^{2}（t+{T}_{0}）^{2}}}$-h，故D正確，ABC錯誤；
故選：D．

點評 考查萬有引力與向心力表達式，掌握牛頓第二定律的應用，理解向心力的來源，注意前后兩次出現在人的正上方時，正好多轉動一圈是解題的突破口．