Question

一圓筒的橫截面如圖所示，其圓心為O．筒內有垂直于紙面向里的勻強磁場，磁感應強度為B．圓筒下面有相距為d的平行金屬板M、N，其中M板帶正電荷，N板帶等量負電荷．質量為m、電荷量為q的帶正電粒子自M板邊緣的P處由靜止釋放，經N板的小孔S以速度v沿半徑SO方向射入磁場中．粒子與圓筒發生兩次碰撞后仍從S孔射出，設粒子與圓筒碰撞過程中沒有動能損失，且電荷量保持不變，在不計重力的情況下，求：
（1）M、N間電場強度E的大小；
（2）圓筒的半徑R．

Answer 1

分析：（1）粒子在勻強電場中在加速運動，電場力做功等于粒子動能的增加，根據動能定理和公式U=Ed求解場強E的大小；
（2）粒子在磁場中由洛倫茲力提供向心力，列式可求出粒子運動的軌跡半徑，再根據題意，正確畫出粒子運動的軌跡，根據幾何關系寫出粒子的半徑與磁場的半徑的關系，從而求出圓筒的半徑R．

解答：解：（1）設兩板間的電壓為U，由動能定理得：qU=

1

2

mv2  ①
由勻強電場中電勢差與電場強度的關系得：U=Ed  ②
聯立上式可得：E=

mv2

2qd

  ③
（2）粒子進入磁場后做勻速圓周運動，運用幾何關系作出圓心為O′，圓半徑為r，
設第一次碰撞點為A，由于粒子與圓筒發生兩次碰撞又從S孔射出，因此，SA弧所對的圓心角∠AO′S等于

π

3

，
由幾何關系得：r=Rtan

π

3

  ④
粒子運動過程中洛倫茲力充當向心力，由牛頓第二定律，得：qvB=m

v2

r

  ⑤
聯立④⑤式得：R=

3 mv

3qB

  ⑥
答：
（1）M、N間電場強度E的大小為

mv2

2qd

；
（2）圓筒的半徑R為

3 mv

3qB

．

點評：解決該題的關鍵是根據題目的要求，正確畫出粒子運動的軌跡，并根據幾何關系寫出粒子的半徑與磁場的半徑的關系．該題對空間思維的能力要求比較高．