Question

一圓筒的橫截面如圖所示，其圓心為O。筒內有垂直于紙面向里的勻強磁場，磁感應強度為B。圓筒下面有相距為d的平行金屬板M、N，其中M板帶正電荷．N板帶等量負電荷。質量為m、電荷量為q的帶正電粒子自M板邊緣的P處由靜止釋放，經N板的小孔S以速度v沿半徑SO方向射入磁場中．粒子與圈筒發生兩次碰撞后仍從S孔射出，設粒子與圓筒碰撞過程中沒有動能損失，且電荷量保持不變，在不計重力的情況下，求：

(1)M、N間電場強度E的大小；

(2）圓筒的半徑R:

（3）保持M、N間電場強度E不變，僅將M板向上平移2/3d，粒子仍從M板邊緣的P處由靜止釋放粒子自進入圓筒至從S孔射出期間，與圓筒的碰撞次數n。

Answer 1

【解析】（1）設兩板間電壓為U，由動能定理得

                                          

    由勻強電場中的電勢差和電場強度的關系得

                                                         

    聯立上式可得

                                              

   （2）粒子進入磁場后做勻速圓周運動，運用幾何關系做出圓心O’,圓的半徑為r。設第一次碰撞點為A，由于粒子與圓筒發生兩次碰撞又從S射出，因此，SA弧所對的圓心角

∠AO’S=

由幾何關系得                                                

粒子運動過程中洛倫茲力充當向心力，由牛頓第二定律，得

                                                        

聯立兩式得                                                

 （3）保持M、N間電場強度E不變，M板向上平移d后，設板間電壓為U’,則

                                      

設粒子進入S孔時的速度為v’,由式看出

                                            

綜合式可得

                                              

設粒子做圓周運動的半徑為r’,則

                                                 

設粒子從S到第一次與圓筒碰撞期間的軌跡對應的圓心角為，

比較兩式得到r’=R,可見

                                                

粒子須經過四個這樣的圓弧才能從S孔射出，故n=3