Question

20．如圖為某種魚餌自動投放器中的投餌管裝置示意圖，其下半部AB是一長為2R的豎直細管，上半部BC是半徑為R的四分之一圓弧彎管，管口沿水平方向，AB管內有一原長為R，下端固定的輕質彈簧．投餌時，每次總將彈簧長度壓縮到0.5R后鎖定，在彈簧上端放置一粒魚餌，解除鎖定，彈簧可將魚餌彈射出去．設質量為m的魚餌到達管口C時，對管壁的作用力恰好為零，不計魚餌在運動過程中的機械能損失，且鎖定和解除鎖定時，均不改變彈簧的彈性勢能．已知重力加速度為g．求：
（1）質量為m的魚餌到達管口C時的速度大小v₁；
（2）彈簧壓縮到0.5R時的彈性勢能E_p；
（3）已知地面與水面相距1.5R，若使該投餌管繞AB管的中軸線OO′在90°角的范圍內來回緩慢轉動，每次彈射時只放置一粒魚餌，魚餌的質量在$\frac{2}{3}$m到m之間變化，且均能落到水面，持續投放足夠長時間后，魚餌能夠落到水面的最大面積S是多少？

Answer 1

分析 （1）魚餌到達管口C時做圓周運動的向心力完全由重力提供，有牛頓第二定律列出向心力的方程，速度可求．
（2）不計魚餌在運動過程中的機械能損失，所以魚餌增加的機械能都是彈簧做功的結果，由功能關系知道彈簧具有的彈性勢能等于魚餌增加的機械能．
（3）分別求出質量是m和$\frac{2}{3}$m的魚餌離開C時的速度，再利用平拋運動規律求出落到水平面到轉軸之間的距離，轉軸轉過90°時，魚餌在水平面形成兩個$\frac{1}{4}$圓面積，中間夾的環形面積即為所求．

解答 解：（1）質量為m的魚餌到達管口C時做圓周運動的向心力，完全由重力提供，則
   mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$…①
由①式解得：v₁=$\sqrt{gR}$…②
（2）從彈簧釋放到最高點C的過程中，彈簧的彈性勢能全部轉化為魚餌的機械能，由系統的機械能守恒定律有
   E_p=mg（1.5R+R）+$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$…③
由②③式解得：E_p=3mgR…④
（3）不考慮因緩慢轉動裝置對魚餌速度大小的影響，質量為m的魚餌離開管口C后做平拋運動，
設經過t時間落到水面上，離OO'的水平距離為x₁，由平拋運動規律有：
   4.5R=$\frac{1}{2}$gt²…⑤
   x₁=v₁t+R…⑥
由⑤⑥式解得：x₁=4R…⑦
當魚餌的質量為$\frac{2}{3}$m時，設其到達管口C時速度大小為v₂，由機械能守恒定律得：
  E_p=$\frac{2}{3}$mg（1.5R+R）+$\frac{1}{2}$（$\frac{2}{3}$m）${v}_{2}^{2}$…⑧
由④⑧式解得：v₂=2$\sqrt{gR}$…⑨
質量為$\frac{2}{3}$m的魚餌落到水面上時，設離OO'的水平距離為x₂，則
   x₂=v₂t+R…⑩
由⑤⑨⑩式解得：x₂=7R
魚餌能夠落到水面的最大面積 S=$\frac{1}{4}$（π${x}_{2}^{2}$-π${x}_{1}^{2}$）=$\frac{33}{4}$πR²（或8.25πR²）
答：
（1）魚餌到達管口C時的速度大小v₁為$\sqrt{gR}$；
（2）彈簧壓縮到0.5R時的彈性勢能E_p是3mgR；    
（3）魚餌能夠落到水面的最大面積S是8.25πR²．

點評 本題的關鍵要理清魚餌的運動情況，把握能量的轉化情況，知道轉軸轉過90°魚餌在水平面上形成圓周是解決問題的關鍵．