Question

一傾角為θ＝45°的斜血固定于地面，斜面頂端離地面的高度h₀＝1m，斜面底端有一垂直于斜而的固定擋板。在斜面頂端自由釋放一質量m＝0.09kg的小物塊（視為質點）。小物塊與斜面之間的動摩擦因數μ＝0.2。當小物塊與擋板碰撞后，將以原速返回。重力加速度g＝10 m/s²。在小物塊與擋板的前4次碰撞過程中，擋板給予小物塊的總沖量是多少？

Answer 1

 N·s

解析:

解法一：設小物塊從高為h處由靜止開始沿斜面向下運動，到達斜面底端時速度為v。

由功能關系得                                 ①

以沿斜面向上為動量的正方向。按動量定理，碰撞過程中擋板給小物塊的沖量

                                                   ②

設碰撞后小物塊所能達到的最大高度為h’，則

                               ③

同理，有                              ④

                                          ⑤

式中，v’為小物塊再次到達斜面底端時的速度，I’為再次碰撞過程中擋板給小物塊的沖量。由①②③④⑤式得      ⑥式中                                             ⑦

由此可知，小物塊前4次與擋板碰撞所獲得的沖量成等比級數，首項為

                                   ⑧

總沖量為                          ⑨

由                                 ⑩

得                                ⑾

代入數據得     N·s     解法二：設小物塊從高為h處由靜止開始沿斜面向下運動，小物塊受到重力，斜面對它的摩擦力和支持力，小物塊向下運動的加速度為a，依牛頓第二定律得

                           ①

設小物塊與擋板碰撞前的速度為v，則

                                     ②

以沿斜面向上為動量的正方向。按動量定理，碰撞過程中擋板給小物塊的沖量為

                               ③

由①②③式得

                                  ④

設小物塊碰撞后沿斜面向上運動的加速度大小為a’， 依牛頓第二定律有

                                    ⑤

小物塊沿斜面向上運動的最大高度為

                                       ⑥

由②⑤⑥式得                                     ⑦

式中                                   ⑧

同理，小物塊再次與擋板碰撞所獲得的沖量

                          ⑨

由④⑦⑨式得                              ⑩

由此可知，小物塊前4次與擋板碰撞所獲得的沖量成等比級數，首項為

                                  ⑾

總沖量為                    ⑿

由                               ⒀

得                                  ⒁

代入數據得     N·s                             ⒂