Question

如圖，ABCD為豎直平面內的光滑絕緣軌道，其中AB段是傾斜的，傾角為37°，BC段是水平的，CD段為半徑R=0.15m的半圓，三段軌道均光滑連接，整個軌道處在豎直向下的勻強電場中，場強大小E=5.0×10³ V/m．一帶正電的導體小球甲，在A點從靜止開始沿軌道運動，與靜止在C點不帶電的相同導體小球乙發生彈性碰撞，碰撞后速度交換（即碰后甲的速度變成碰前瞬間乙的速度，乙的速度變成碰前瞬間甲的速度）．已知甲、乙兩球的質量均為m=1.0×10^-2㎏，小球甲所帶電荷量為q_甲=2.0×10^-5C，g取10m/s²，假設甲、乙兩球可視為質點，并不考慮它們之間的靜電力，且整個運動過程與軌道間無電荷轉移．
（1）若甲、乙兩球碰撞后，小球乙恰能通過軌道的最高點D，試求小球乙在剛過C點時對軌道的壓力；
（2）若水平軌道足夠長，在甲、乙兩球碰撞后，小球乙能通過軌道的最高點D，則小球甲應至少從距BC水平面多高的地方滑下？
（3）若傾斜軌道AB可在水平軌道上移動，在滿足（1）問和能垂直打在傾斜軌道的條件下，試問小球乙在離開D點后經多長時間打在傾斜軌道AB上？

Answer 1

【答案】分析：（1）小球乙恰能通過軌道的最高點D時，由重力和電場力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律和向心力公式求出小球乙通過D點時的速率，對于乙球從C到D過程，根據動能定理求出乙球在C點時的速率，由牛頓第二定律和第三定律結合求解小球乙在剛過C點時對軌道的壓力；
（2）甲球從A到C的過程，根據動能定理求解甲球剛滑下時的高度；
（3）小球乙離開D點做類平拋運動，垂直打在傾斜軌道時，速度與傾斜軌道垂直，運用運動的分解法求解時間．
解答：解：因甲乙小球相同，則碰撞后兩個小球的電量都為q=q_甲=1.0×10^-5C 
其電場力F=Eq=0.05N，G=mg=0.1N
（1）設小球乙恰能通過軌道的最高點D時的速率為v_D，在D點：由牛頓第二定律得：
Eq+mg=解得：v_D=0.15m/s               
小球乙從C到D的過程，由動能定理：
  
在C點：由牛頓第二定律得：
解得：N_C=6（Eq+mg）=0.9N                             
由牛頓第三定律得：小球乙在剛過C點時對軌道的壓力大小為N=0.9N，方向豎直向下．
（2）設小球甲從高度為h時滑下與小球乙碰撞后，小球乙恰能通過軌道的最高點D，
由動能定理：
解得：h=m                                      
（3）小球乙離開D點做類平拋運動，加速度a==15m/s²
當小球乙垂直打在斜面上時，其豎直速度v_y=at=v_ctan53°=0.2m/s
 故：時間t=s                                         
答：（1）小球乙在剛過C點時對軌道的壓力是0.9N，方向豎直向下．
（2）小球甲應至少從距BC水平面高處的地方滑下．
（3）小球乙在離開D點后經s時間打在傾斜軌道AB上．
點評：本題是動能定理與向心力、類平拋運動的綜合，要抓住小球乙剛好到達最高點D的臨界條件，求出臨界速度，分段運用動能定理．