Question

14．如圖，質量m=20kg的物塊（可視為質點），與質量M=30kg、高h=0.8m、長度L=4m的小車一起以v₀向右勻速運動．現在A處固定一高h=0.8m、寬度不計的障礙物，當車撞到障礙物時被粘住不動，而貨物繼續在車上滑動，到A處時即做平拋運動，恰好與傾角為53°的光滑斜面相切而沿斜面向下滑動至O點，已知貨物與車間的動摩擦因數μ=0.5，兩平臺的高度差h′=2m．（g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6）求：

（1）貨物平拋時的水平速度v₁；
（2）車與貨物共同速度的大小v₀；
（3）當M停止運動開始到m運動至O點結束的時間．

Answer 1

分析 （1）根據平拋運動求解物體做平拋運動的時間，求出物體在斜面最高點豎直方向的速度，并進行運動的合成與分解求解貨物平拋時的水平速度v₁；
（2）根據牛頓第二定律求解物體在M上運動的加速度大小，再根據位移速度關系求解車與貨物共同速度的大小v₀；
（3）求出m在M上運動的時間、平拋運動的時間、m在斜面上運動的時間，然后計算總時間即可．

解答 解：（1）貨物從小車上滑出之后做平拋運動，設平拋運動的時間為t₂，則：h=$\frac{1}{2}$gt₂²，
解得平拋運動的時間為：t₂=$\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×0.8}{10}}s=0.4s$；　　　　　　　　　          
經過斜面頂點時，豎直分速度 v_y=gt₂=10×0.4m/s=4m/s；　　　　　　　          
在斜面頂點分解速度如圖，
由運動的合成與分解可得：v_x=v_ycot53°，
解得：v_x=3m/s；
即貨物平拋時的水平速度v₁=v_x=3m/s；
（2）以貨物為研究對象，根據牛頓第二定律可得減速運動的加速度大小為：
a=$\frac{μmg}{m}=μg=5m/{s}^{2}$，
根據速度位移關系可得：v₀²-v₁²=2aL，
解得：v₀=7m/s；
（3）m在M上運動的時間為t₁，根據速度時間關系可得：v₀-v₁=at₁，
解得：${t}_{1}=\frac{{v}_{0}-{v}_{1}}{a}=\frac{7-3}{5}s=0.8s$，
設物體在光滑斜面上運動的加速度為a′，運動的時間為t₃，則：
根據牛頓第二定律得：a′=gsin53°=8m/s²，
運動的初速度v=$\frac{{v}_{x}}{cos53°}=\frac{3}{0.6}m/s=5m/s$，
斜面長L=$\frac{h′}{sin53°}=\frac{2}{0.8}m=2.5m$，
根據位移時間關系可得：L=vt₃+$\frac{1}{2}$a′t₃²，
解得：t₃≈0.38s，
所以當M停止運動開始到m運動至O點結束的時間t=t₁+t₂+t₃=0.8s+0.4s+0.38s=1.58s．
答：（1）貨物平拋時的水平速度為3m/s；
（2）車與貨物共同速度的大小7m/s；
（3）當M停止運動開始到m運動至O點結束的時間為1.58s．

點評 本題前是多物體多過程的力學問題，把復雜的過程分解成幾個分過程是基本思路，然后根據運動學公式和功能關系列式求解．