Question

7．現在的高速公路入口都設置了ETC通道和人工收費通道兩種方式，哪種方式更節省時間，我們來節省以下：如圖所示是高速公路入口示意圖．假設汽車以正常速度v₁=16m/s朝收費站正常沿直線行駛，如果過ETC通道，需要在距收費站中心線前d=10m處正好勻減速至v₂=4m/s，勻速通過中心線后，再勻加速至v₁正常行駛；如果過人工收費通道，需要恰好在中心線處勻減速至零，經過t₀=20s繳費成功后，再啟動汽車勻加速至v₁正常行駛，設汽車加速和減速過程中的加速度大小分別為a₁=2m/s²和a₂=1m/s²．求：
（1）汽車過人工收費通道時，從開始減速到恢復到正常行駛過程中的位移大小；
（2）汽車通過ETC通道比通過人工收費通道節省的時間△t．

Answer 1

分析 （1）根據勻變速直線運動的速度位移公式求出加速和減速的位移，以及勻速運動的位移大小求出總位移．
（2）根據勻變速直線運動的速度時間公式求出勻加速和勻減速運動的時間，結合通過ETC通道和人工收費通道的時間求出節約的時間．

解答 解：（1）過ETC通道時，減速時的位移為：
x₁=$\frac{{v}_{1}^{2}-{v}_{2}^{2}}{2a}$=$\frac{1{6}^{2}-{4}^{2}}{2×2}$=64m，
減速過程的位移為：x₂=$\frac{{v}_{1}^{2}}{2{a}_{2}}$=$\frac{1{6}^{2}}{2×1}$=128m
所以總的位移為：x_1總=x₁+x₂=128+64=192m．
（2）過ETC通道時為：t₁=$\frac{{v}_{1}-{v}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{16-4}{2}$=6s；
勻速過程的時間為：t₂=$\fracp9vv5xb5{{v}_{2}}$=$\frac{10}{4}$=2.5s；
勻加速過程的時間為：t₃=$\frac{{v}_{1}-{v}_{2}}{{a}_{2}}$=$\frac{16-4}{1}$=12s；
故通過ETC的總時間為：t=t₁+t₂+t₃=6+2.5+12=20.5s；
汽車通過人工車道時
勻減速過程的時間為：t₁′=$\frac{{v}_{1}}{{a}_{1}}$=$\frac{16}{2}$=8s；
勻加速過程的時間為：t₂′=$\frac{{v}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{16}{1}$=16s；
汽車通過人工車道的總時間t′=t₁′+t₂′+t₀=8+16+20=44s；
則節約的時間△t=44-20.5=23.5s．
答：（1）從開始減速到恢復正常行駛過程中的位移大小為192m．
（2）汽車通過ETC通道比通過人工收費通道節約的時間是23.5s．

點評 解決本題的關鍵理清汽車在兩種通道下的運動規律，結合勻變速直線運動的位移公式和時間公式進行求解，注意兩種情況下各自的運動過程．