Question

一根長度為L的輕質直桿，兩端各固定一個可視為質點的小球A和B，兩球質量均為m，輕桿可以繞過其中點的水平軸在豎直平面內勻速運動．
（1）若直桿轉動周期T=2π

L g

，求直桿轉到如圖所示豎直位置時，A、B兩球對直桿作用力各多大？方向如何？
（2）若要求直桿轉到圖示的位置時，直桿對A球的拉力恰好等于球的重力，求此情況下桿轉動的周期和B球對直桿的作用力．

Answer 1

分析：根據ω=

2π

T

求出小球轉動的角速度．對兩個小球受力分析，在豎直方向的合力提供圓周運動的向心力，根據牛頓第二定律求出桿子的作用力大小和方向．

解答：解：A、B兩個小球隨桿轉動時，均以O為圓心在豎直平面內做勻速圓周運動，設小球運動的角速度為ω．
（1）若周期T=2π

L g

，則小球運動角速度 ω=

2π

T

=

g L

…①
運動中小球所需向心力的大小為：F=mRω2=M

L

2

?

g

L

=

1

2

mg＜mg…②
對A球：在最高點時，小球所受重力大于它運動所需向心力，小球向下壓直桿，桿對小球有向上的支持力F_A，據牛頓第二定律，有mg-F_A=mRω²…③
所以FA=mg-mRω2=

1

2

mg…④
在最高點時，A球對直桿有向下的壓力F=FA=

1

2

mg…⑤
對B球：桿對小球的拉力F與重力的合力提供了小球運動所需向心力．有
FB-mg=mRω2
所以FB=mg+mRω2=

3

2

mg… ⑥
在最低點，球對桿產生豎直向下的拉力，大小為

3

2

mg
（2）若轉到圖示位置時，直桿對小球產生向下的拉力，即小球A受力與圖示F_A方向相反，據牛頓第二定律，有F_A+mg=mR（ω′）²…⑦
由題設要求F_A=mg代入上式得ω′=2

g L

…⑧
此時直桿繞O軸的轉動周期是T′=

2π

ω′

=2

g L

…⑨
此時處于最低點的球B，有F′-mg=mRω²
F′=mg+mRω²=3mg
答：（1）若直桿轉動周期T=2π

L g

，直桿轉到如圖所示豎直位置時，A球對直桿有向下的壓力

1

2

mg B在最低點，球對桿產生豎直向下的拉力，大小為

3

2

mg
（2）此情況下桿轉動的周期T′=2

g L

，B球對直桿的作用力3mg．

點評：解決本題要知道，小球沿半徑方向的合力提供做圓周運動的向心力，注意桿子和繩子不同，繩子只能表現為拉力，桿子既可以表現為拉力，也可以表現為支持力．