Question

（2011?惠州一模）有一平行板電容器，內部為真空，兩個電極板的間距為d，每一個正方形電極板的長均為L，電容器內有一均勻電場，U為兩個電極板間的電壓，如圖甲所示．電子從電容器左端的正中央以初速v₀射入，其方向平行于電極板之一邊，并打在圖上的D點．電子的電荷以-e表示，質量以m表示，重力可不計．回答下面各問題（用已知物理的字母表示）
（1）求電子打到D點瞬間的動能；
（2）電子的初速v₀至少必須大于何值，電子才能避開電極板，逸出電容器外？
（3）若電容器內沒有電場，只有垂直進入紙面的均勻磁場，其磁感應強度為B，電子從電容器左端的正中央以平行于電極板一邊的初速v₀射入，如圖乙所示，則電子的初速v₀為何值，電子才能避開電極板，逸出電容器外？

Answer 1

分析：（1）甲圖中，電子電場中偏轉過程中，電場力做功e?

U

2

，根據動能定理求解電子打到D點瞬間的動能；
（2）電子在電場中做類平拋運動，水平方向做勻速直線運動，豎直方向作初速度為零的勻加速直線運動．當電子剛好打到極板邊緣時，水平位移等于板長L，豎直位移等于

d

2

，根據運動的分解法，由牛頓第二定律和運動學公式結合可求此時電子的初速v₀，即為電子能避開電極板，逸出電容器外的最小速度．
（3）若電容器內沒有電場，只有垂直進入紙面的均勻磁場，電子在磁場中做勻速圓周運動，當電子剛好從下右邊緣飛出磁場時速度最大，當電子從下板左邊緣飛出磁場時速度最小，由幾何知識求出電子軌跡的半徑，由牛頓第二定律求出速度，得到速度的范圍．

解答：解：（1）甲圖中，根據動能定理得
    e?

U

2

=E_k-

1

2

m

v

2 0

解得，E_k=

1

2

(eU+m

v

2 0

)
（2）設電子剛好打到極板邊緣時的速度為v，則
   豎直方向：

d

2

=

1

2

at2
   水平方向：L=vt
又加速度a=

eU

md

聯立解得，v=

L

d

Ue m

故電子要逸出電容器外必有v₀＞

L

d

Ue m

．
（3）有兩種情況
①電子剛好從下板左邊緣飛出磁場時，做半圓周運動其半徑R₁=

d

4

由 ev1B=m

v 2 1

R1

得，v₁=

eBd

4m

電子避開電極板的條件是v₁＜

eBd

4m

．
②電子剛好從下右邊緣飛出磁場時，由幾何知識得
  

R

2 2

=L²+(R2-

d

2

)2
解得，R2=

4L2+d2

4d

則  v₂=

eBR2

m

=

(4L2+d2)eB

4dm

電子避開電極板的條件是v₂＞

(4L2+d2)eB

4dm

．
答：
（1）電子打到D點瞬間的動能是

1

2

(eU+m

v

2 0

)；
（2）電子的初速v₀至少必須大于

L

d

Ue m

，電子才能避開電極板，逸出電容器外．
（3）電子避開電極板的條件是v₁＜

eBd

4m

或v₂＞

(4L2+d2)eB

4dm

．

點評：本題是電場與磁場兩種偏轉研究方法的對比，電場中運用運動的分解法，而磁場中根據幾何知識求解軌跡半徑，由牛頓第二定律求解，注意挖掘隱含的臨界條件．