Question

2．如圖所示，斜面C固定在水平地面上，傾角為θ=30°，A、B兩物體放在斜面上，距離為d=7.5m，A與C的動摩擦因數為μ_A=$\frac{1}{2\sqrt{3}}$，B與C的動摩擦因數為μ_B=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，t=0時刻分別給A、B以沿斜面向上的初速度v_OA=7.5m/s，v_OB=15m/s，取g=10m/s²．求：
（1）上滑階段A、B兩物體的加速度大小；
（2）從開始到A、B相遇所經歷的時間t．

Answer 1

分析 （1）對A、B由于牛頓第二定律求出加速度．
（2）A、B開始都做勻加速直線運動，由于牛頓第二定律求出它們的加速度，然后求出它們減速到零的運動時間，再由于勻變速直線運動的運動規律求出A、B相遇需要的時間．

解答 解：（1）由牛頓第二定律得：
對A：m_Agsinθ+μ_Am_Agcosθ=m_Aa_A1，
代入數據解得：a_A1=7.5m/s²，
對B：m_Bgsinθ+μ_Bm_Bgcosθ=m_Ba_B1，
代入數據解得：a_B1=10m/s²；
（2）A、B向上做勻減速直線運動，做減速運動的時間為：
t_A=$\frac{{v}_{0A}}{{a}_{A}}$=$\frac{7.5}{7.5}$=1s，
t_B=$\frac{{v}_{B}}{{a}_{B}}$=$\frac{15}{10}$=1.5s，
t_B＞t_A，物體A先減速為零，物體A減速為零的過程中：
s_A1=$\frac{{v}_{0A}^{2}}{2{a}_{A1}^{\;}}$=$\frac{7．{5}^{2}}{2×7.5}$=3.75m，s_B1=v_0Bt_A-$\frac{1}{2}$a_B1t_A²=15×1-$\frac{1}{2}$×10×1²=10m，
d+s_A1＞s_B1，在此過程中A、B沒有相遇；
此時A、B間的距離為：s=d+s_A1-s_B1=7.5+3.75-10=1.25m，
此時B的速度為：v_B=v_0B-a_Bt_A=15-10×1=5m/s，
由于μ_A＜tanθ，則m_Agsinθ＞μ_Am_Agcosθ，A速度變為零后將向下做加速運動，
對A，由牛頓第二定律得：m_Agsinθ-μ_Am_Agcosθ=m_Aa_A2，
代入數據解得：a_A2=2.5m/s²，
當A、B相遇時：s=$\frac{1}{2}$a_A2t′²+v_Bt′-$\frac{1}{2}$a_Bt′²，
代入數據解得：t′=$\frac{1}{3}$s，
A、B相遇需要的時間為：t=t_A+t′=1+$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{3}$s；
答：（1）上滑階段A、B兩物體的加速度大小分別為7.5m/s²、10m/s²；
（2）從開始到A、B相遇所經歷的時間t為$\frac{4}{3}$s．

點評 本題考查了求加速度、相遇時間問題，由于兩物體的運動過程復雜，本題難度較大，分析清楚物體的運動過程是解題的關鍵，由于牛頓第二定律與運動學公式可以解題．