Question

3．用如圖所示的淺色水平傳送帶AB和斜面BC將貨物運送到斜面的頂端．AB距離L=11m，傳送帶始終以v=12m/s勻速順時針運行．傳送帶B端靠近傾角θ=37°的斜面底端，斜面底端與傳送帶的B端之間有一段長度可以不計的小圓弧．在A、C處各有一個機器人，A處機器人每隔t=1.0s將一個質量m=10kg、底部有碳粉的貨物箱（可視為質點）輕放在傳送帶A端，貨物箱經傳送帶和斜面后到達斜面頂端的C點時速度恰好為零，C點處機器人立刻將貨物箱搬走．已知斜面BC的長度s=5.0m，傳送帶與貨物箱之間的動摩擦因數μ₀=0.55，貨物箱由傳送帶的右端到斜面底端的過程中速度大小損失原來的$\frac{1}{11}$，不計傳送帶輪的大小，g=10m/s²（sin37°=0.6，cos37°=0.8）．求：
（1）斜面與貨物箱之間的動摩擦因數μ；
（2）如果C點處的機器人操作失誤，未能將第一個到達C點的貨物箱搬走而造成與第二個貨物箱在斜面上相撞．求兩個貨物箱在斜面上相撞的位置到C點的距離；  （本問結果可以用根式表示）
（3）從第一個貨物箱放上傳送帶A端開始計時，在t₀=2s的時間內，貨物箱在傳送帶上留下的痕跡長度．

Answer 1

分析 （1）貨物箱在傳送帶上做勻加速運動過程，根據牛頓第二定律求出加速度，由速度位移關系公式求出貨物箱運動到傳送帶右端時的速度大小，根據貨物箱由傳送帶的右端到斜面底端的過程中速度大小損失原來的，得到貨物箱剛沖上斜面時的速度．貨物箱在斜面上向上運動過程中做勻減速運動，已知初速度、末速度為零，位移為s，由速度位移關系公式求出加速度大小，由牛頓第二定律求出斜面與貨物箱之間的動摩擦因數μ．
（2）由運動學公式分別求出貨物箱由A運動到B的時間和由B運動到C的時間，得到第一個貨物箱沖上斜面C端時第二個貨物箱剛好沖上斜面，然后貨物箱沿斜面向下做勻加速運動，
由牛頓第二定律求出加速度，當第一個貨物箱與第二個貨物箱相遇時，兩者位移大小之和等于斜面的長度s，由位移公式求出相遇時間，再求出兩個貨物箱在斜面上相遇的位置到C端的距離．
（3）根據位移公式求出第1s內貨箱和傳送帶運動的位移，進而得出貨箱第1s留下的痕跡，同理，再求出第2s內第一個貨箱留下的痕跡，從而知道第一、二兩個貨箱由1m重合，
t₀=2s時，第二個貨箱在傳送帶上運動了1s，留下的痕跡與第一個貨箱留下的痕跡相等，最后求出2s內貨物箱在傳送帶上留下的痕跡的總長度．

解答 解：（1）貨物箱在傳送帶上做勻加速運動過程，
根據牛頓第二定律可得，μ₀mg=ma₀
解得：a₀=μ₀g=0.55×10m/s²=5.5m/s²，
由v₁²=2a₀L得，貨物箱運動到傳送帶右端時的速度大小為
 v₁=$\sqrt{2{a}_{0}L}$=$\sqrt{2×5.5m/{s}^{2}×11m}$=11m/s＜v=12m/s，
說明貨物箱在傳送帶上一直做勻加速運動．
貨物箱剛沖上斜面時的速度v₂=（1-$\frac{1}{11}$）v₁=（1-$\frac{1}{11}$）×11m/s=10m/s，
貨物箱在斜面上向上運動過程中，由v₂²=2a₁s得，貨箱在斜面上的加速度：
解得：a₁=$\frac{{v}_{2}^{2}}{2s}$=$\frac{（10m/s）^{2}}{2×5m}$=10m/s²，
根據牛頓第二定律可得，mgsinθ+μmgcosθ=ma₁，
代入數據得：10kg×10m/s²×0.6+10kg×10m/s²×0.8=10kg×10m/s²，
解得：μ=0.5．                                     
（2）由v₁=a₀t₁得，貨物箱由A運動到B的時間：
t₁=$\frac{{v}_{1}}{{a}_{0}}$=$\frac{11m/s}{5.5m/{s}^{2}}$=2s，
由v₂=a₁t₂得，由B運動到C的時間：
t₂=$\frac{{v}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{10m/s}{10m/{s}^{2}}$=1s，
可見第一個貨物箱沖上斜面C端時第二個貨物箱剛好沖上斜面．
貨物箱沿斜面向下運動，根據牛頓第二定律有：mgsinθ-μmgcosθ=ma₂
則加速度大小a₂=gsinθ-μgcosθ=10m/s²×0.6-0.5×10m/s²×0.8=2.0m/s²，
設第一個貨物箱在斜面C端沿斜面向下運動與第二個貨物箱相撞的過程所用時間為t，
則有：v₂t-$\frac{1}{2}$a₁t²+$\frac{1}{2}$a₂t²=s，
代入數據得：10m/s×t-$\frac{1}{2}$×10m/s²×t²+-$\frac{1}{2}$×2.0m/s²×t²=5.0m，
解得：t=$\frac{5-\sqrt{5}}{4}$s，
兩個貨物箱在斜面上相遇的位置到C端的距離
s₁=$\frac{1}{2}$a₂t²=$\frac{1}{2}$×2.0m/s²×（$\frac{5-\sqrt{5}}{4}$s）²=$\frac{15-5\sqrt{5}}{8}$m．
（3）第1s內貨箱運動的位移：
x₁=$\frac{1}{2}$a₀t²=$\frac{1}{2}$×5.5m/s²×（1s）²=2.75m．
傳送帶的位移：
x₂=vt=12m/s×1s=12m，
則第1s留下的痕跡：
d₁=x₂-x₁=12m-2.75m=9.25m，
所以t=1s時，第二個貨箱輕放在第一個貨箱后2.75m處，第一個貨箱前9.25m有痕跡，
第2s內，對于第一個木箱有：v₀=a₀t=5.5m/s²×1s=5.5m/s，
x₁′=v₀t+$\frac{1}{2}$a₀t²=5.5m/s×1s+$\frac{1}{2}$×5.5m/s²×（1s）²=8.25m，
第一個貨箱留下的痕跡：d₂=x₂-x₁′=12m-8.25m=3.75m，
所以第一、二兩個貨箱由1m重合，
t₀=2s時，第二個貨箱在傳送帶上運動了1s，
留下的痕跡：d₃=d₁=9.25m，
故2s內，貨物箱在傳送帶上留下的痕跡長度：
d=d₁+d₂+d₃-1m=9.25m+3.75m+9.25m-1m=21.25m．
答：（1）斜面與貨物箱之間的動摩擦因數μ=0.5；
（2）兩個貨物箱在斜面上相撞的位置到C點的距離為0.48m；
（3）貨物箱在傳送帶上留下的痕跡長度為21.25m．

點評 此題文字較多，首先要有耐心讀題，該題涉及到相對運動的過程，要認真分析物體的受力情況和運動情況，對于傳送帶問題，關鍵是分析物體的運動情況，要邊計算邊分析，不能只定性分析．