Question

【題目】如圖所示，光滑水平平臺AB與豎直光滑半圓軌道AC平滑連接，C點切線水平，長為L=4m的粗糙水平傳送帶BD與平臺無縫對接。質量分別為m1=0.3kg和m2=1kg兩個小物體中間有一被壓縮的輕質彈簧，用細繩將它們連接。已知傳送帶以v0=1.5m/s的速度向左勻速運動，小物體與傳送帶間動摩擦因數為μ=0.15．某時剪斷細繩，小物體m1向左運動，m2向右運動速度大小為v2=3m/s，g取10m/s2．求：

(1)剪斷細繩前彈簧的彈性勢能Ep

(2)從小物體m2滑上傳送帶到第一次滑離傳送帶的過程中，為了維持傳送帶勻速運動，電動機需對傳送帶多提供的電能E

(3)為了讓小物體m1從C點水平飛出后落至AB平面的水平位移最大，豎直光滑半圓軌道AC的半徑R和小物體m1平拋的最大水平位移x的大小。

Answer 1

【答案】(1)19.5J(2)6.75J(3)R=1.25m時水平位移最大為x=5m

【解析】

(1)對m1和m2彈開過程，取向左為正方向，由動量守恒定律有：

0=m1v1-m2v2

解得

v1=10m/s

剪斷細繩前彈簧的彈性勢能為：

解得

Ep=19.5J

(2)設m2向右減速運動的最大距離為x，由動能定理得：

-μm2gx=0-m2v22

解得

x=3m＜L=4m

則m2先向右減速至速度為零，向左加速至速度為v0=1.5m/s，然后向左勻速運動，直至離開傳送帶。

設小物體m2滑上傳送帶到第一次滑離傳送帶的所用時間為t。取向左為正方向。

根據動量定理得：

μm2gt=m2v0-（-m2v2）

解得：

t=3s

該過程皮帶運動的距離為：

x帶=v0t=4.5m

故為了維持傳送帶勻速運動，電動機需對傳送帶多提供的電能為：

E=μm2gx帶

解得：

E=6.75J

(3)設豎直光滑軌道AC的半徑為R時小物體m1平拋的水平位移最大為x。從A到C由機械能守恒定律得：

由平拋運動的規律有：

x=vCt1

聯立整理得

根據數學知識知當

4R=10-4R

即R =1.25m時，水平位移最大為

x=5m