Question

11．如圖所示，傾角θ=37°的光滑且足夠長的斜面固定在水平面上，在斜面頂端固定一個輪半徑和質量不計的光滑定滑輪D，質量均為m=1kg的物體A和B用一勁度系數k=240N/m的輕彈簧連接，物體B被位于斜面底端且垂直于斜面的擋板P擋住．用一不可伸長的輕繩使物體A跨過定滑輪與質量為M的小環C連接，小環C穿過豎直固定的光滑均勻細桿，當整個系統靜止時，環C位于Q處，繩與細桿的夾角α=53°，且物體B對擋板P的壓力恰好為零．圖中SD水平且長度為d=0.2m，位置 R與位置Q關于位置S對稱，輕彈簧和定滑輪右側的繩均與斜面平行．現讓環C從位置R由靜止釋放，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g 取 10m/s²．
求：（1）小環C的質量M；
（2）小環C通過位置S時的動能E_k及環從位置R運動到位置S的過程中輕繩對環做的功W_T；
（3）小環C運動到位置Q的速率v．

Answer 1

分析 （1）該題中，共有ABC三個物體與彈簧組成一個系統，受力的物體比較多，可以先以AB組成的整體為研究對象，求出繩子的拉力，然后以C為研究對象進行受力分析，即可求出C的質量；
（2）由幾何關系求出繩子RD段的長度，再以B為研究對象，求出彈簧的伸長量，以及后來的壓縮量，最后根據機械能守恒定律求出C的速度、動能；由動能定理求出輕繩對環做的功W_T；
（3）由機械能守恒定律即可求出C的速度v．

解答 解：（1）先以AB組成的整體為研究對象，AB系統受到重力．支持力和繩子的拉力處于平衡狀態，則繩子的拉力為：
T=2mgsinθ=2×10×sin37°=12N
以C為研究對象，則C受到重力、繩子的拉力和桿的彈力處于平衡狀態，如圖，則：

T•cos53°=Mg
代入數據得：M=0.72kg
（2）考慮到本題中彈簧有不同的形變量，所以需要先計算不同情況下彈簧的形變量，然后判斷出是否需要使用彈簧的彈性勢能的表達式．
所以需要先計算出彈簧開始時的形變量．
由題意，開始時B恰好對擋板沒有壓力，所以B受到重力、支持力和彈簧的拉力，彈簧處于伸長狀態；產生B沿斜面方向的受力：
F₁=mgsinθ=1×10×sin37°=6N
彈簧的伸長量為：△x₁=$\frac{{F}_{1}}{k}$=$\frac{6}{240}$=0.025m
由題圖中的幾何關系可知：$\overline{RD}$=$\overline{QD}$=$\fracp9vv5xb5{sinα}$=$\frac{0.2}{sin53°}$m=0.25m
所以C由R點運動到S點的過程中，彈簧將縮短，有：x=$\overline{RD}$-$\overline{SD}$=0.25-0.20=0.05m＞0.025m
可知彈簧將由開始時的伸長狀態變成壓縮狀態，壓縮量：△x₂=x-△x₁=0.05-0.025=0.025m=△x₁
由于彈簧的壓縮量等于彈簧開始時的伸長量，所以當C運動到S點時，彈簧的彈性勢能與開始時的彈性勢能是相等的．而A下降的距離等于彈簧縮短的距離x，即0.05m．
在C從R點運動到S點的過程中，C受到的重力、A受到的重力對A與C組成的系統 做功．當C到達S點時，C沿繩子方向的分速度是0，所以A的速度是0，A與C減小的重力勢能轉化為C的動能，由機械能守恒定律得：
   Mg•$\overline{RS}$+mg•x•sinθ=$\frac{1}{2}$M${v}_{1}^{2}$
代入數據求得環C的動能為：E_k=$\frac{1}{2}$M${v}_{1}^{2}$=1.38J
環下降的過程中重力和繩子的拉力對環做功，由動能定理得：Mg•$\overline{RS}$+W_T=E_k
代入數據，得：W_T=0.3J
（3）結合第二步的分析可知，當環到達Q點時，由于$\overline{RD}$=$\overline{QD}$，所以，物體A恰好又回到了開始時的位置，彈簧的長度又回到了最初的長度，所以環從R到S的過程中，只有環的重力勢能減小，其他的物體的勢能保持不變！
對環在Q點的速度進行分解如下圖，則：

由圖可知，物體A上升的速度即沿繩子方向的速度，是環C的一個分速度，它們之間的關系：$\frac{{v}_{A}}{{v}_{Q}}$=cosα=cos53°=0.6
所以：v_A=0.6v_Q
由功能關系：Mg$\overline{RQ}$=$\frac{1}{2}M{v}_{Q}^{2}$+$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
代入數據解得：小環C運動到位置Q的速率 v_Q=2m/s
答：（1）小環C的質量 是0.72kg；
（2）小環C通過位置S時的動能E_k是1.38J，環從位置R運動到位置S的過程中輕繩對環做的功是0.3J；
（3）小環C運動到位置Q的速率是2m/s．

點評 解答本題的關鍵要分析清楚物體的運動過程，抓住隱含的相等條件，如第二問中，要得出彈簧的彈性勢能沒有變化的結論，否則解答的過程不能算是完整．