Question

7．一宇宙飛船飛近某一行星并進入靠近行星表面的圓形軌道，繞行數圈后著陸在該行星上．已知宇航員在繞行時測得繞行周期為T，著陸后測得質量為m的砝碼在星球表面的重力為F，由測量的量可得該星球的質量M=$\frac{{F}^{3}{T}^{4}}{16G{π}^{4}{m}^{3}}$，該星球的密度ρ=$\frac{3π}{G{T}^{2}}$，該星球的半徑R=$\frac{F{T}^{2}}{4{π}^{2}m}$．

Answer 1

分析 通過萬有引力提供向心力、萬有引力等于重力去求星球的質量和半徑，再求密度．

解答 解：宇宙飛船繞行星表面運行時，根據萬有引力提供向心力，得：
G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mR$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
在星球上，由萬有引力等于重力，得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=F
聯立解得：R=$\frac{F{T}^{2}}{4{π}^{2}m}$，M=$\frac{{F}^{3}{T}^{4}}{16G{π}^{4}{m}^{3}}$
則該星球的密度為：ρ=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3π}{G{T}^{2}}$
故答案為：$\frac{{F}^{3}{T}^{4}}{16G{π}^{4}{m}^{3}}$，$\frac{3π}{G{T}^{2}}$，$\frac{F{T}^{2}}{4{π}^{2}m}$．

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力提供向心力，以及萬有引力等于重力這兩大理論，要靈活選取向心力公式的形式．