Question

（2013?合肥一模）在如圖甲所示的空間里，存在方向水平垂直于紙面向里的勻強磁場和豎直向上的周期性變化的電場（如圖乙所示），周期T=12t₀，電場強度的大小為E₀，E＞0表示電場方向豎直向上．一傾角為30°足夠長的光滑絕緣斜面放置在此空間．t=0時，一帶負電、質量為m的微粒從斜面上的A點由靜止開始沿斜面運動，到C點后，做一次完整的圓周運動，在t=T時刻回到C點，再繼續沿斜面運動到t=13t₀時刻．在運動過程中微粒電荷量不變，重力加速度為g，上述E₀、m、t₀、g為已知量．

（1）求微粒所帶電荷量q和磁感應強度大小B；
（2）求微粒在A、C間運動的加速度和運動到C點時的速度大小v₁；
（3）求0～2T時間內微粒經過的路程．

Answer 1

分析：（1）根據電場力等于重力，可求出電量，而僅僅由洛倫茲力提供向心力，根據牛頓第二定律，即可求出磁感應強度大小；
（2）根據微粒在AC間的受力圖，結合牛頓第二定律，即可確定加速度大小與方向，再由運動學公式可求出速度大小；
（3）根據運動學公式，求出在不同時間內路程，從而即可求出0到2T時間內的總路程．

解答：解：（1）由題意給微粒在0到T時間內的運動情況可知，
在0到t₀時間內微粒沿斜面運動，
在這之后的△t₂=T-t₀=11t₀時間內做勻速圓周運動，
做勻速圓周運動時，電場力與重力的合力為零，
則由qE₀=mg，
解得：q=

mg

E0

設粒子在到達C點時速度為v，洛倫茲力提供向心力，
有 qvB=m

v2

r

，
運動周期T=

2πm

Bq

，
本題中T=11t₀，即11t₀=

2πm

qB

，
解得：B=

2πm

11t0q

=

2πE0

11gt0

（2）微粒在AC間運動時的受力圖如圖所示，
則：（qE₀+mg）sin30°=ma，
解得：a=g，方向沿斜面向下，
微粒運動到C點的速度大小為v₁=at₀=gt₀．
（3）0到t₀時間內的路程s₁=

1

2

a

t

2 0

=

1

2

g

t

2 0

，
t₀到12t₀時間內的路程s₂=2πr=11gt₀²，
12t₀到13t₀時間內路程s₃=gt₀?t₀+

1

2

gt₀²=

3

2

gt₀²，
第二次做圓周運動的速度v=2gt₀，半徑是第一次的兩倍，
13t₀到14t₀時間內的路程s₄=2s₂=22gt₀²，
所以0到2T時間內的總路程s=s₁+s₂+s₃+s₄=35gt₀²．
 答：1）則微粒所帶電荷量

mg

E0

和磁感應強度大小

2πE0

11gt0

；
（2）則微粒在A、C間運動的加速度a=g，方向沿斜面向下，和運動到C點時的速度大小gt₀；
（3）則0～2T時間內微粒經過的路程35gt₀²．

點評：考查粒子做勻速圓周運動時，電場力與重力相平衡，洛倫茲力提供向心力，掌握牛頓第二定律與運動學公式綜合應用．