Question

9．如圖（a）所示，間距為L、電阻不計的光滑導軌固定在傾角為θ的斜面上，在區域Ⅰ內有方向垂直于斜面的勻強磁場，磁感應強度為B，在區域Ⅱ內有垂直于斜面向下的勻強磁場，其磁感應強度B_t的大小隨時間t變化的規律如圖（b）所示．t=0時刻在軌道上端的金屬細棒ab從如圖位置由靜止開始沿導軌下滑，同時下端的另一金屬細棒cd在位于區域Ⅰ內的導軌上由靜止釋放．在ab棒運動到區域Ⅱ的下邊界EF處之前，cd棒始終靜止不動，兩棒均與導軌接觸良好．已知ab棒和cd棒的質量為m、電阻為R，區域Ⅱ沿斜面的長度為2L，在t=t_x時刻（t_x未知）ab棒恰進入區域Ⅱ，重力加速度為g．求：
（1）當ab棒在區域Ⅱ內運動時cd棒消耗的電功率和熱量；
（2）ab棒開始下滑至EF的過程中流過導體棒cd的電量．

Answer 1

分析 （1）對cd棒，根據平衡求出感應電流的大小，根據P=I²R求出當ab棒在區域Ⅱ內運動時cd棒消耗的電功率．ab棒進入磁場Ⅱ內產生的感應電動勢等于之前變化磁場產生的感應電動勢，由此求ab棒進入磁場的速度，從而求ab棒通過磁場Ⅱ的時間，即可求出熱量．
（2）由于通過cd棒的電流不變，由q=It求電量即可．

解答 解：（1）對cd棒，根據平衡條件得：
  F_安=BIL=mgsinθ
所以通過cd棒的電流大小為：I=$\frac{mgsinθ}{BL}$
當ab棒在區域Ⅱ內運動時cd棒消耗的電功率為：P=I²R=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}Rsi{n}^{2}θ}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
ab棒在到達區域Ⅱ前做勻加速直線運動，有：a=$\frac{mgsinθ}{m}$=gsinθ
cd棒始終靜止不動，ab棒在到達區域Ⅱ前、后，回路中產生的感應電動勢和感應電流保持不變，則ab棒在區域Ⅱ中一定做勻速直線運動．可得：
 $\frac{△Φ}{△t}$=BLv_t，即$\frac{B•2L•L}{{t}_{x}}$=BLgsinθ•t_x，
得：t_x=$\sqrt{\frac{2L}{gsinθ}}$
ab棒在區域Ⅱ中做勻速直線運動的速度為：v_t=at_x=$\sqrt{2gLsinθ}$
通過磁場Ⅱ的時間為 t₂=$\frac{2L}{{v}_{t}}$=$\sqrt{\frac{2L}{gsinθ}}$
故當ab棒在區域Ⅱ內運動時cd棒消耗的熱量為 Q=I²Rt₂=$\frac{\sqrt{2}{m}^{2}{g}^{\frac{3}{2}}si{n}^{\frac{3}{2}θ}}{{B}^{2}{L}^{\frac{3}{2}}}$
（2）ab棒開始下滑至EF的過程中流過導體棒cd的電量為 q=I（t_x+t₂）=$\frac{2m}{B}\sqrt{\frac{2gsinθ}{L}}$
答：
（1）當ab棒在區域Ⅱ內運動時cd棒消耗的電功率是$\frac{{m}^{2}{g}^{2}Rsi{n}^{2}θ}{{B}^{2}{L}^{2}}$，熱量是$\frac{\sqrt{2}{m}^{2}{g}^{\frac{3}{2}}si{n}^{\frac{3}{2}θ}}{{B}^{2}{L}^{\frac{3}{2}}}$；
（2）ab棒開始下滑至EF的過程中流過導體棒cd的電量是$\frac{2m}{B}\sqrt{\frac{2gsinθ}{L}}$．

點評 解決這類問題的關鍵是分析兩段過程中電流的關系，弄清電路結構，運用平衡條件和電磁感應的基本規律結合處理．