Question

14．輕質彈簧原長為2R，將彈簧豎直放置在地面上，在其頂端將一質量為2m的物體靜止釋放，當彈簧被壓縮到最短時，其長度為R．現將彈簧一端固定在傾角為30°的固定直軌道AC的底端A處，另一端位于直軌道上B處，彈簧處于自然狀態，直軌道與一半徑為$\sqrt{3}$R的光滑圓弧軌道相切于C點，BC=5R，A、B、C、D位于同一豎直平面內．質量為m的小物塊P自C點由靜止開始下滑，將彈簧壓縮至最短時到達E點（圖中未畫出），此時彈簧長度為R，重力加速度大小為g．
（1）求物塊P與直軌道間的動摩擦因數μ．
（2）求物塊P被彈簧彈回時到達的最高點離C點的距離d．
（3）改變物塊P的質量，將P推至E點，從靜止開始釋放．已知P能夠到達圓弧軌道，且在圓弧軌道上運動時始終不脫離軌道，試確定P的質量的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對物塊從C到E的過程分析，由能量守恒定律列式，可求得物體與斜面間的動摩擦因數；
（2）物塊P被彈簧彈回過程，再由能量守恒定律求最高點離C點的距離d；
（3）要使在圓弧軌道上運動時始終不脫離軌道，分兩類情況，一種是不超過與軌道圓心等高的高度，一種能到達最高點，然后根據臨界條件和能量守恒定律解答．

解答 解：（1）將彈簧豎直放置在地面上，物塊放在彈簧上，彈簧被壓縮到最短時，彈性勢能為 E_p=2mgR
將質量為m的小物塊P自C點由靜止開始下滑，將彈簧壓縮至最短時到達E點時，根據能量守恒定律得
   E_p+μmgcos30°•6R=mgsin30°•6R
聯立解得 μ=$\frac{\sqrt{3}}{9}$
（2）物塊P被彈簧彈回過程，由能量守恒定律得
   E_p=μmgcos30°•L+mgsin30°•L
又 d=6R-L
解得 d=3R
（3）設P的質量為km．分兩種情況：
①物塊P能到達圓軌道的最高點，在最高點有
   m$\frac{{v}_{0}^{2}}{\sqrt{3}R}$≥mg
根據能量守恒定律得 
   E_p=μkmgcos30°•6R+kmgsin30°•6R+kmg•$\sqrt{3}$R（1+cos30°）+$\frac{1}{2}km{v}_{0}^{2}$
聯立解得 k≤$\frac{4}{11+3\sqrt{3}}$
②物塊不超過與軌道圓心等高的高度．
據能量守恒定律得 
   E_p-μkmgcos30°•6R-kmgsin30°•6R≤kmg•$\sqrt{3}$Rcos30°
聯立解得 k≥$\frac{4}{11}$
綜上，P的質量的取值范圍為m_P ≤$\frac{4}{11+3\sqrt{3}}$m或m_P ≥$\frac{4}{11}$m
答：
（1）物塊P與直軌道間的動摩擦因數μ是$\frac{\sqrt{3}}{9}$．
（2）物塊P被彈簧彈回時到達的最高點離C點的距離d是3R．
（3）P的質量的取值范圍為m_P ≤$\frac{4}{11+3\sqrt{3}}$m或m_P ≥$\frac{4}{11}$m．

點評 本題考查動能定理、牛頓第二定律及豎直面內的圓周運動，解題的關鍵在于明確能P到達軌道最高點的臨界條件：重力等于向心力，理解物塊P在圓弧軌道上運動且不脫離圓弧軌道的含義，要注意不能漏解．