Question

如圖所示，兩個

3

4

圓弧軌道固定在水平地面上，半徑R相同，A軌道由金屬凹槽制成，B軌道由金屬圓管制成，均可視為光滑軌道．在兩軌道右側的正上方將質量均為m的金屬小球A和B由靜止釋放，小球距離地面的高度分別用h_A和h_B表示，則下列說法正確的是（　　）

A．若h_A=h_B=R，則兩小球都能上升到離地高度為R的位置

B．若h_A=h_B=2R，則兩小球在軌道最低點對軌道的壓力為4mg

C．適當調整h_A和h_B，均可使兩小球從軌道最高點飛出后，恰好落在軌道右端口處

D．若使小球沿軌道運動并且能從最高點飛出，A小球的最小高度為5R/2，B小球在h_B＞2R的任何高度均可

Answer 1

分析：小球A恰好能到A軌道的最高點時，軌道對小球無作用力，由重力提供小球的向心力，由牛頓第二定律求出速度．小球恰好能到B軌道的最高點時，速度為零，根據機械能守恒分別求出h_A和h_B．再判斷h_A=h_B=2R，兩小球是否能沿軌道運動到最高點．根據最高點的臨界速度求出小球最高點飛出的水平位移的最小值．

解答：解：A、若h_A=h_B=R，根據機械能守恒定律可知，兩小球都到達與O點等高的位置速度為零，即兩小球都能上升到離地高度為R的位置，故A正確；
B、若h_A=h_B=2R，根據機械能守恒定律可知

1

2

mvA2=mg?2R，所以A在最低點的速度為vA=

2g×2R

=2

gR

，在最低點有：N-mg=m

vA2

R

，解得：N=5mg，同理可求B球在最低點對軌道的壓力為5mg，故B錯誤；
C、小球A從最高點飛出后下落R高度時，水平位移的最小值為：x_A=vA

2R g

=

gR

2R g

=

2

R＞R，小球A落在軌道右端口外側．而適當調整h_B，B可以落在軌道右端口處．故C錯誤；
D、小球A恰好能到A軌道的最高點時，由mg=m

vA2

R

，vA=

gR

根據機械能守恒定律得，mg（h_A-2R）=

1

2

mvA2
解得：h_A=

5

2

R
小球恰好能到B軌道的最高點時，臨界速度為零，根據機械能守恒定律得：
mg（h_B-2R）=0
若使小球沿軌道運動并且從最高點飛出，B小球h_B＞2R的任意高度釋放都可以．故D正確．
故選AD

點評：本題是向心力、機械能守恒定律、平拋運動的綜合，A軌道與輕繩系的球模型相似，B軌道與輕桿固定的球模型相似，要注意臨界條件的不同．