Question

如圖所示，兩個

3

4

圓弧軌道固定在水平地面上，半徑R相同，A軌道由金屬凹槽制成，B軌道由金屬圓管制成，均可視為光滑軌道．在兩軌道右側的正上方分別將金屬小球A和B由靜止釋放，小球距離地面的高度分別用h_A和h_B表示，則下列說法正確的是（　　）

• A．若h_A=h_B=2R，則兩小球都能沿軌道運動到最高點
• B．若h_A=h_B=

  3R

  2

  ，由于機械能守恒，兩小球在軌道上升的最大高度為3R/2
• C．適當調整h_A和h_B，均可使兩小球從軌道最高點飛出后，恰好落在軌道右端口處
• D．若使小球沿軌道運動并且從最高點飛出，A小球的最小高度為

  5R

  2

  ，B小球最小高度為2R

Answer 1

分析：小球A恰好能到A軌道的最高點時，軌道對小球無作用力，由重力提供小球的向心力，由牛頓第二定律求出速度．小球恰好能到B軌道的最高點時，速度為零，根據機械能守恒分別求出h_A和h_B．再判斷h_A=h_B=2R，兩小球是否能沿軌道運動到最高點．若h_A=

3

2

R時，小球A在軌道上上升的最大高度有一定的速度，由最大高度小于

3

2

R時．根據最高點的臨界速度求出小球最高點飛出的水平位移的最小值．

解答：解：A、D若小球A恰好能到A軌道的最高點時，由mg=m

v 2 A

R

，v_A=

gR

，根據機械能守恒定律得，mg（h_A-2R）=

1

2

m

v

2 A

，解得h_A=

5

2

R；若小球B恰好能到B軌道的最高點時，在最高點的速度v_B=0，根據機械能守恒定律得h_B=2R．可見，h_A=2R時，A不能到達軌道的最高點．故A錯誤，D正確．
B、若h_B=

3

2

R時，B球到達軌道上最高點時速度為0，小球B在軌道上上升的最大高度等于

3

2

R時，若h_A=h_B=

3

2

R時，小球A在到達最高點前離開軌道，有一定的速度，由機械能守恒可知，A在軌道上上升的最大高度小于h_B=

3

2

R，故B錯誤．
C、小球A從最高點飛出后做平拋運動，下落R高度時，水平位移的最小值為x_A=v_A

2R g

=

gR

?

2R g

=

2

R＞R，所以小球A落在軌道右端口外側．而適當調整h_B，B可以落在軌道右端口處．所以適當調整h_A和h_B，只有B球從軌道最高點飛出后，恰好落在軌道右端口處．故C錯誤．
故選D

點評：本題是向心力、機械能守恒定律、平拋運動的綜合，A軌道與輕繩系的球模型相似，B軌道與輕桿固定的球模型相似，要注意臨界條件的不同．