Question

如圖所示為一游樂場設施的簡化示意圖．長為l，高為h=0.8m平板小車靠在光滑的半徑為R的1/4圓弧軌道的右側，小車上表面恰好與軌道最低端相挨，現讓一質量為m₁的小滑塊，從圓弧軌道頂端下滑后沖上小車上表面，繼續向前運動，發現當小滑塊滑離小車著地時，小車也恰好靜止．已知小滑塊到軌道最低端時對軌道的壓力N=30N，平板小車上表面與小滑塊的動摩擦因數μ₁=0.2，小車與地面的動摩擦因數μ₂=0.1，小滑塊質量與小車質量關系為m₁=1.2m₂，小滑塊著地時距平板小車右端△s=0.32m，g取10m/s²．求：
（1）小滑塊的質量m₁；
（2）圓弧軌道的半徑R和平板小車的長度l．

Answer 1

分析：（1）在最低點，重力和支持力的合力提供向心力，物塊在圓弧軌道上運動，只有重力做功，機械能守恒，根據機械能守恒定律和牛頓第二定律，求出小滑塊的質量m₁．
（2）根據牛頓第二定律分別求出物塊和小車的加速度，抓住物塊滑離小車時位移之差等于小車的長度，以及物塊離開小車做平拋運動，知道和小車右端的位移，根據勻變速直線運動公式求出平板車的速度．以及根據求出滑塊滑上小車的速度，根據機械能守恒定律求出圓弧軌道的半徑．

解答：解：（1）小滑塊沿圓弧軌道下滑，由機械能守恒定律有：m1gR=

1

2

m1

v

2 1

①
在軌道最低點，由向心力公式有：N-m1g=m1

v 2 1

R2

②
由①②兩式得：N=3m₁g，
將N=30N代入解得m₁=1kg．
（2）小滑塊在小車上運動時情況：
對m₁有：μ₁m₁g=m₁a₁   ③
對m₂有：μ₁m₁g-μ₂（m₁+m₂）g=m₂a₂   ④
由第（1）問結果代入題中數據解得：a₁=2m/s²，a₂=0.2m/s²，
由運動學公式得：
小滑塊的位移：s1=

v 2 1 - v ′2 1

2a1

⑤
小車的位移：s2=

v ′2 2

2a2

⑥
考慮時間相等有：

v1-v1′

a1

=

v2′

a2

⑦
s₁-s₂=l          ⑧
小滑塊與小車分離后：
小滑塊平拋：h=

1

2

g

t

2 2

，s₁'=v₁'t₂⑨
小車做勻減速運動：a₂'=μ₂g=1m/s² 由于末速為零有：v₂'=a₂'t₂⑩s2′=

v2′

2

t2（11）
由題知：△s=s₁'-s₂'（12）
將數據代入⑨⑩（11）（12）式解得：v₁'=1m/s，v₂'=0.4m/s
將求得的v₁'，v₂'代入①⑤⑥⑦⑧解得：R=1.25m，l=5.6m

點評：本題是機械能守恒定律、牛頓第二定律與運動學的綜合題，關鍵要理清運動的過程，抓住過程中的相等量，靈活運用運動學公式．