Question

如圖所示，在OPNM區域內有垂直于紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大小為B，∠QOP=60°．離子源中帶電量為+q，質量為m的離子（離子初速度可忽略不計）經電場AB加速后以一定速度從O點處垂直QN進入磁場，不計離子的重力．
（1）當加速電壓U=U₀，求離子進入磁場中做圓周運動的半徑r．
（2）已知P點到O點距離為L，若要離子恰好從P點離開磁場，加速電壓U多大？
（3）若離子恰好從P點離開磁場，求該離子在磁場中的運動時間．

Answer 1

分析：（1）離子在電場中加速時，根據動能定理求解獲得的速度．離子進入磁場后，由洛倫茲力提供向心力，離子做勻速圓周運動，由牛頓第二定律求解離子進入磁場后做圓周運動的半徑R₀．
（2）OP是一條直線，離子進入磁場時速度與OP的夾角為30°，由幾何知識分析求得粒子的軌跡半徑R，根據動能定理求解加速電壓．
（3）由幾何關系求出軌跡所對的圓心角，得到時間與周期的關系，求出時間．

解答：解：（1）離子在電場中加速時，到達O點的速度為v₀，根據動能定理得 U0q=

1

2

m

v

2 0

-0①
離子在磁場中運動時，洛侖茲力提供向心力，得  qv0B=m

v 2 0

r

②
由①②解得：r=

1

B

2U0m q

③
（2）離子恰好經過P點離開磁場，
由幾何關系可得R=L    ④
離子在電場中加速時，到達O點的速度為v，
根據動能定理得  Uq=

1

2

m

v

2

-0⑤
離子在磁場中運動時，洛侖茲力提供向心力qvB=m

v 2

R

⑥
由④⑤⑥解得：U=

B2L2q

2m

⑦
（3）由幾何關系可知，

.

PO

對應的圓心角為60°
若離子在磁場中的運動周期為T，
該離子在磁場中的運動時間 t=

1

6

T=

1

6

×

2πR

v

⑧
由⑥⑧解得：t=

πm

3qB

 ⑨
或：若離子在磁場中的運動周期為T，有洛侖茲力提供向心力有  qvB=m(

2π

T

)2R⑧
由幾何關系可知，

.

PO

對應的圓心角為60°
離子在磁場中的運動時間t=

1

6

T（1分） ⑨
解得：t=

πm

3qB

答：
（1）當加速電壓U=U₀，求離子進入磁場中做圓周運動的半徑r為

1

B

2U0m q

．
（2）已知P點到O點距離為L，若要離子恰好從P點離開磁場，加速電壓U為

B2L2q

2m

．
（3）若離子恰好從P點離開磁場，該離子在磁場中的運動時間為

πm

3qB

．

點評：磁場中的圓周運動問題重點是要找出半徑，然后通過合理的作圖畫出粒子的運動軌跡，基本就可以解決問題了，磁場中的軌跡問題是高考特別喜歡考查的內容，而且都是出大題，應該多做訓練．