Question

13．如圖所示，在x≥O的區域內存在與xOy平面垂直的勻強磁場，磁感應強度的大小為B，方向垂直于紙面朝里，假設一系列質量為m、電荷量為q的正離子初速度為零，經過加速電場加速后從O點沿Ox軸正方向進入勻強磁場區域．有一塊厚度不計、高度為d的金屬板豎直放置在磁場中，截面如圖，M、N分別為金屬板截面的上、下端點，M點的坐標為（d，2d），N點的坐標為（d，d）．不計正離子的重力．
（1）加速電場的電壓在什么范圍內，進入磁場的離子才能全部打在金屬板上？
（2）求打在金屬板上的離子在磁場中運動的最短時間與最長時間的比值？（sin37°=0.6，cos37°=0.8）

Answer 1

分析 （1）由動能定理求出粒子的速度，再根據洛倫茲力充當向心力求出恰好打到N點時的半徑，在求出恰好打到M點的半徑，中間的數據就是所求的電壓范圍；
（2）分別求出打到M點時的最長時間和打到N點時的最短時間，然后求比值即可．

解答 解：（1）設加速電壓為U，正離子初速度為零，經過加速電場加速，根據動能定理得：
qU=$\frac{1}{2}$mv²
正離子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力：
qvB=$\frac{m{v}^{2}}{R}$
R=$\frac{\sqrt{2mqU}}{qB}$
當加速電壓較小時，離子在磁場中做勻速圓周運動的半徑較小，當離子恰好打到金屬板下端點N點時，圓周運動的半徑最小為R_min，如圖1
根據幾何知識可以判斷R_min=d
故：U_min=$\frac{q{B}^{2}p9vv5xb5^{2}}{2m}$
當加速電壓較大時，離子在磁場中做勻速圓周運動的半徑較大，當離子恰好打到金屬板上端點M點時，圓周運動的半徑最大為Rmax，如圖2
根據幾何知識判斷：R_max²=d²+（2d-R_min）²
解得R_max=$\frac{5}{4}$d
所以U_max=$\frac{25q{B}^{2}p9vv5xb5^{2}}{32m}$
所以離子能全部打在金屬板上，加速電壓的取值范圍為：$\frac{q{B}^{2}p9vv5xb5^{2}}{2m}$≤U≤$\frac{25q{B}^{2}d{\;}^{2}}{32m}$
（2）設離子在磁場中做勻速圓周運動的周期為T，根據圓周運動規律得：
T=$\frac{2πR}{v}$  ①
又qvB=$\frac{m{v}^{2}}{R}$ ②
聯立①②解得：T=$\frac{2πm}{qB}$
離子在磁場中做勻速圓周運動的周期與加速電壓無關．
離子在圖1中所示的軌跡中運動時間最短為
t_min=$\frac{1}{4}$T
離子在圖2所示的軌跡中運動時間最長為：
t_max=$\frac{90+θ}{360°}$
根據幾何知識：cosθ=$\fracp9vv5xb5{{r}_{max}}$
則：θ=37°
所以$\frac{{t}_{min}}{{t}_{max}}$=$\frac{90}{127}$
答：（1）加速電場的電壓在為：$\frac{q{B}^{2}p9vv5xb5^{2}}{2m}$≤U≤$\frac{25q{B}^{2}d{\;}^{2}}{32m}$范圍內，進入磁場的離 子才能全部打在金屬板上，
（2）打在金屬板上的離子在磁場中運動的最短時間與最長時間的比值為$\frac{90}{127}$

點評 本題考查離子在勻強磁場和電場中的運動規律應用，要注意明確帶電粒子在電場中運動時應用動能定理分析，而在磁場中要注意明確洛倫茲力充當向心力規律以及幾何關系進行分析求解，對學生的數學規律應用能力要求較高．