Question

某科幻小說中有下列一段描述，宇宙中有一球型均勻帶電天體，其質量為m，半徑為R．宇航員王小明乘坐飛行器，登上該天體，用質量為M，帶電量為q的小球進行如下操作．第一次，讓小球帶負電，從距該天體表面為h的位置由靜止釋放，發現小球懸浮不動；第二次，讓小球帶正電，從相同的位置，用小型發射裝置將小球以某一速度水平發射，發現小球恰能在距天體表面為h的軌道上做勻速圓周運動．（已知萬有引力常量為G，靜電力恒量為k）試根據以上信息求：
（1）該天體所帶電的電性及其電量；
（2）小球做勻速圓周運動加速度的大小；
（3）小球繞天體運動一周所用的時間．

Answer 1

（1）第一次小球靜止，受萬有引力與庫侖力等值反向，故天體帶負電，
設天體帶電量為Q
由

GmM

(R+h)2

=

kQq

(R+h)2

得
Q=

GmM

kq

（2）小球受萬有引力和庫侖力，根據牛頓第二定律得：
由

GmM

(R+h)2

+

kQq

(R+h)2

=Ma  得小球加速度大小為 
a=

2Gm

(R+h)2

（3）小球繞該天體做圓周運動，根據合力（即萬有引力和庫侖力的合力）提供向心力，

GmM

(R+h)2

+

kQq

(R+h)2

=

Mv2

R+h

小球做圓周運動的線速度  v=

2Gm R+h

小球線天體運動一周所用的時間 T=2π

R+h

v

將v值代入得 T=π

2(R+h)3 Gm

答：（1）該天體所帶電的電性及其電量是

GmM

kq

；
（2）小球做勻速圓周運動加速度的大小是

2Gm

(R+h)2

；
（3）小球繞天體運動一周所用的時間是π

2(R+h)3 Gm

．