Question

4．如圖所示，兩塊很大的平行導體板MN、PQ產生豎直向上的勻強電場，兩平行導體板與一半徑為r的單匝線圈連接，在線圈內有一方向垂直線圈平面向里，磁感應強度變化率為$\frac{△{B}_{1}}{△t}$的勻強磁場．在兩導體板之間還存在有理想邊界的勻強磁場，勻強磁場分布為I、II兩個區域，其邊界為MN、ST、PQ，磁感應強度大小均為B₂，方向如圖所示，I區域高度為d₁，II區域的高度為d₂．一個質量為m、電量為q的帶正電的小球從MN板上方的O點由靜止開始下落，穿過MN板的小孔進入復合場后，恰能做勻速圓周運動，II區域的高度d₂足夠大，帶電小球在運動中不會與PQ板相碰，重力加速度為g．

（1）求線圈內勻強磁場的磁感應強度變化率$\frac{△{B}_{1}}{△t}$；
（2）若帶電小球運動后恰能回到O點，求帶電小球釋放時距MN的高度h；
（3）若帶電小球從距MN的高度為3h的O’點由靜止開始下落，為使帶電小球運動后仍能回到O’點，在磁場方向不改變的情況下對兩導體板之間的勻強磁場作適當的調整，請你設計出兩種方案并定量表示出來．

Answer 1

分析 （1）小球能做勻速圓周運動，則有電場力與重力平衡，根據平衡條件求解出電場強度后，根據法拉第電磁感應定律求解線圈內勻強磁場的磁感應強度變化率；
（2）只有小球從進入磁場的位置離開磁場，做豎直上拋運動，才能恰好回到O點；結合對稱性，畫出運動軌跡，根據幾何關系，結合動能定理與牛頓第二定律，即可求解；
（3）由上式高度可知，從而確定磁感應強度的變化值，并依重力與電場力相等，從而確定距離關系．

解答 解：（1）帶電小球進入復合場后恰能做勻速圓周運動，則電場力與重力平衡，得：
qE=mg
根據公式U=Ed得到：
E=$\frac{U}{p9vv5xb5_{1}+p9vv5xb5_{2}}$
根據法拉第電磁感應定律，有：
U=$\frac{△{B}_{1}}{△t}$=πr²
解得：
$\frac{△{B}_{1}}{△t}$=$\frac{mg（p9vv5xb5_{1}+p9vv5xb5_{2}）}{qπ{r}^{2}}$
（2）只有小球從進入磁場的位置離開磁場，做豎直上拋運動，才能恰好回到O點，由于兩個磁場區的磁感應強度大小都相等，所以半徑都為R，由圖可知△O₁O₂O₃是等邊三角形．
根據動能定理，有：
mgh=$\frac{1}{2}$mv²
根據洛倫茲力提供向心力，有：
qvB₂=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
三個圓心的連線構成等邊三角形，結合幾何關系，有：
R=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$d₁
解得：h=$\frac{2p9vv5xb5_{1}^{2}{q}^{2}{B}_{2}^{2}}{3g{m}^{2}}$
（3）方案1：改變磁感應強度
自由落體過程，根據動能定理，有：
mg×3h=$\frac{1}{2}$m${v}_{1}^{2}$
解得：v₁=$\sqrt{6gh}$=$\sqrt{3}$v
根據洛倫茲力提供向心力，有：
qv₁′B₂′=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
B₂′=$\sqrt{3}$B₂
將兩板之間的勻強磁場的磁感應強度增大為原來的$\sqrt{3}$倍．
方案2：改變磁場的寬度：
由h=$\frac{2p9vv5xb5_{1}^{2}{q}^{2}{B}_{2}^{2}}{3g{m}^{2}}$可知，將磁場I區的寬度增大為原來的$\sqrt{3}$倍，即d₁′=$\sqrt{3}$d₁．
磁場II區的寬度變為d₂′=d₂-（$\sqrt{3}$-1）d₁
方案3：改變磁場邊界：磁場II區的磁場邊界下移y的距離．
當帶電小球從距MN的高度為3h的O′點由靜止開始下落時，應有
mg×3h=$\frac{1}{2}$m${v}_{1}^{2}$
根據洛倫茲力提供向心力，有：
qv₁B₂=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
由第2問解析，有：
h=$\frac{2p9vv5xb5_{1}^{2}{q}^{2}{B}_{2}^{2}}{3g{m}^{2}}$
R₁=2d₁
畫出粒子的運動軌跡，如右圖所示，在中間勻速直線運動過程中，粒子的速度方向與豎直方向成30°角，根據幾何關系，可得
y=$\frac{{R}_{1}cos30°-R{\;}_{1}（1-cos30°）}{tan30°}$
y=（6-2$\sqrt{3}$）d₁
方案4：同時改變磁感應強度和磁場邊界（上圖中30⁰角改為θ角）
設磁感應強度增大k倍．B₂′=kB₂
則磁場II區域的上邊界下移y的距離
y=$\frac{{R}_{1}cosθ-{R}_{1}（1-cosθ）}{tanθ}$
式中：R₁=$\frac{2p9vv5xb5_{1}}{k}$
cosθ=$\sqrt{1-（\frac{1}{2}k）^{2}}$
tanθ=$\frac{1}{\sqrt{\frac{4}{{k}^{2}}-1}}$
答：（1）線圈內勻強磁場的磁感應強度變化率為$\frac{mg（p9vv5xb5_{1}+p9vv5xb5_{2}）}{qπ{r}^{2}}$；
（2）若帶電小球運動后恰能回到O點，帶電小球釋放時距MN的高度h為$\frac{2p9vv5xb5_{1}^{2}{q}^{2}{B}_{2}^{2}}{3g{m}^{2}}$；
（3）方案如上所示．

點評 考查帶電小球在復合場中做運動，結合受力分析，掌握物理規律，形成解題思路，提高分析問題的能力．