Question

如圖所示，在直角坐標系xoy中，坐標原點為O處存在一粒子源，現沿與y 軸左右均成30°的范圍內不斷發射出質量為 m，電荷量為 q，速率為 v 的負離子．理想直線邊界 MN 通過 O 點，且與x軸成θ=30°，在MN上方存在垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度為B，在MN下方存在與x軸成30°的勻強電場，場強大小為E，不計粒子的重力和粒子間的相互作用力．
（1）求離子打到OM上的最大距離；
（2）求沿+y方向射出的離子從射出到第三次經過MN邊界所需要的時間；
（3）若勻強磁場僅在MN上方某個區域內存在，要使得這些離子均以平等于+x方向的速度通過OM，求該磁場的最小面積．

Answer 1

分析：（1）離子打到OM上的最大距離就是圓的最大弦長，即直徑；
（2）作出沿+y方向射出的離子從射出到第三次經過MN邊界的軌跡圖，在軌跡的圖中找出時間與路徑的關系；

解答：解：如圖1，垂直于MN方向的粒子打到OM最遠；

由牛頓第二定律：Bqv=

mv2

R

，解得：R=

mv

Bq

粒子達到OM上的最大距離：2R=

2mv

Bq

（2）作出沿+y方向射出的離子從射出到第三次經過MN邊界的軌跡圖如圖2，在磁場中運動的時間：t1=T=

2πm

Eq

在電場中運動的時間：t2=

2v

a

=

2mv

qE m

=

2mv

qE

t=t1+t2=

2πm

qB

+

2mv

qE

（3）粒子在磁場中做圓周運動的半徑：R=

mv

qB

要使得這些離子均以平等于+x方向的速度通過OM，磁場的形狀如圖3實線所示
由幾何關系得：S=S_大-S_小
S大 =2(

1

3

πR2-

1

2

R2sin120°)
S小=2(

1

6

πR2-

1

2

R2sin60°)
S=2(

1

3

πR2-

1

2

R2sin120°)-2(

1

6

πR2-

1

2

R2sin60°)=

1

3

πR2=

π

3

(

mv

qB

)2=

πm2v2

3B2q2

答：（1）離子打到OM上的最大距離

2mv

Bq

；
（2）沿+y方向射出的離子從射出到第三次經過MN邊界所需要的時間

2πm

qB

+

2mv

qE

；
（3）該磁場的最小面積

πm2v2

3B2q2

．

點評：根據粒子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動，依據幾何特性作圖是解題的關鍵之處．是典型的數理結合的題型，是難題．