Question

14．我國于2013年6月11日17時38分發射“神舟十號”載人飛船，并與“天宮一號”目標飛行器對接．如圖所示，開始對接前，“天宮一號”在高軌道，“神舟十號”飛船在低軌道，各自繞地球做勻速圓周運動，距離地面的高度分別為h₁和h₂（設地球半徑為R），“天宮一號”的運行周期約為90分鐘．則以下說法正確的是（　　）

• A． “天宮一號”跟“神舟十號”的線速度大小之比為$\sqrt{\frac{{h}_{2}}{{h}_{1}}}$
• B． “天宮一號”跟“神舟十號”的向心加速度大小之比為$\frac{（R+{h}_{2}）^{2}}{（R+{h}_{1}）^{2}}$
• C． “天宮一號”的角速度比地球同步衛星的角速度小
• D． “天宮一號”的線速度大于7.9 km/s

Answer 1

分析 根據萬有引力提供向心力列式，得到線速度、向心加速度和角速度的表達式，再求解即可．

解答 解：AB、根據$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$=ma=mrω²，又 r=R+h
則得 $v=\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$，$a=\frac{GM}{（R+h）_{\;}^{2}}$，$ω=\sqrt{\frac{GM}{（R+h）_{\;}^{3}}}$所以“天宮一號”跟“神舟十號”的線速度大小之比為 $\sqrt{\frac{R+{h}_{2}^{\;}}{R+{h}_{1}^{\;}}}$，向心加速度大小之比為$\frac{（R+{h}_{2}^{\;}）_{\;}^{2}}{（R+{h}_{1}^{\;}）_{\;}^{2}}$，故A錯誤，B正確；
C、“天宮一號”的運行周期約為90分鐘，同步衛星的周期24h，根據$ω=\frac{2π}{T}$，知“天宮一號”的角速度比地球同步衛星的角速度大，故C錯誤；
D、第一宇宙速度7.9km/s是衛星繞地球圓周運動的最大，所以“天宮一號”的線速度小于7.9km/s，故D錯誤．
故選：B

點評 本題重點是對萬有引力提供向心力各種表達式的變形和引用，需要熟練掌握萬有引力和圓周運動公式．