Question

9．某傳送貨物裝置可簡化為如圖所示，質量為m=2kg可視為質點的貨物，從半徑R=5m的光滑$\frac{1}{4}$圓弧軌道的B點，無初速下滑至最低點C，再滑上質量為M=2kg、停靠在C點的滑板，滑板與C等高，滑板的長度為L₁=10m．取g=10m/s²，求：
（1）貨物滑至C點時對C處的壓力N；
（2）若貨物與滑板的動摩擦因數μ₁=0.3，且滑至滑板的右端時剛好與滑板相對靜止，求滑板與地面的動摩擦因數μ₂；
（3）在（2）問的前提下，滑板與DE平臺碰后以原速率彈回，且回到C點剛好停下，貨物滑上與滑板等高的DE平臺．這樣不停地把質量為m貨物從AB平臺傳送至DE平臺，求滑板靜止時右端到DE平臺的距離L₂．

Answer 1

分析 （1）貨物由B到C的過程，由動能定理可求得貨物在C點的速度，根據牛頓第二定律即牛頓第三定律列方程，可求得貨物對軌道的壓力N；
（2）貨物滑上滑板M后做勻減速運動，滑板做勻加速運動，貨物滑至滑板的右端時剛好與滑板相對靜止，兩者速度相同，由牛頓第二定律可分別求得貨物及滑板的加速度，結合速度相同列式工，求時間，再根據貨物的位移和滑板之差等于滑板的長度列式，聯立可求解．
（3）運用動能定理求滑板靜止時右端到DE平臺的距離L₂．

解答 解：（1）貨物從B運動到C做圓周運動，設C點對貨物支持力為N′，由動能定理及牛頓運動定律有：
mgR=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-0…①
在C點有：N′-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$…②
聯解①②得：N′=3mg=3×2×10N=60N
由牛頓第三定律得：N′=-N…③
得：N=-60N，負號表示方向豎直向下…④
（2）由題可知滑板會相對地面運動，設貨物運動用時為t時與滑板相對靜止，速度為v₁，由牛頓第二定律及運動學知識有：
對貨物：
  μ₁mg=ma₁…⑤
  v₁=v-a₁t…⑥
貨物的位移 x₁=$\frac{v+{v}_{1}}{2}t$…⑦
對滑板：
  μ₁mg-μ₂（M+m）g=Ma₂…⑧
  v₁=a₂t…⑨
滑板的位移 x₂=$\frac{0+{v}_{1}}{2}t$…⑩
貨物滑到滑板右端時，有：x₁-x₂=L₁…⑪
聯解⑤～⑪得：μ₂=0.05…⑫
（3）設滑板與DE平臺相碰撞時速度為v₂，由動能定理有：
-μ₂（M+m）g（L₂-x₂）=$\frac{1}{2}$（M+m）${v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}$（M+m）${v}_{1}^{2}$…⑬
-μ₂MgL₂=0-$\frac{1}{2}$M${v}_{2}^{2}$…⑭
聯解⑬⑭得：L₂=10m…⑮
答：（1）貨物滑至C點時對C處的壓力N是60N．
（2）滑板與地面的動摩擦因數μ₂是0.05．
（3）滑板靜止時右端到DE平臺的距離L₂是10m．

點評 本題考查牛頓第二定律和第三定律及動能定理的應用，關鍵分析物體及小車的運動狀態，按時間順序分析，并要抓住速度相等的條件．