Question

1．總質量為m的一顆返回式人造地球衛星沿半徑為R的圓軌道繞地球運動到P點時，接到地面指揮中心返回地面的指令，于是立即打開制動火箭向原來運動方向噴出燃氣以降低衛星速度并轉到跟地球相切的橢圓軌道，如圖所示，要使衛星對地速度將為原來的$\frac{8}{9}$，衛星在P處應將質量為△m的燃氣以多大的對地速度向前噴出？（將連續噴氣等效為一次性噴氣，地球半徑為R₀，地面重力加速度為g）

Answer 1

分析 先根據萬有引力等于向心力，以及萬有引力等于重力，求出衛星原來的速度，再由動量守恒定律求解．

解答 解：對地面上的物體，根據重力等于萬有引力，得：mg=G$\frac{Mm}{{R}_{0}^{2}}$…①
設衛星原來的線速度大小為v．由萬有引力提供向心力，則得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$…②
由①②兩式，可得：v=$\sqrt{\frac{g{R}_{0}^{2}}{R}}$…③
取衛星原來的速度方向為正方向，由動量守恒定律得：
mv=（m-△m）$\frac{8}{9}$v+△mv′④
由③④解得：v′=$\frac{m+8△m}{9△m}$$\sqrt{\frac{g{R}_{0}^{2}}{R}}$
答：衛星在P處應將質量為△m的燃氣以$\frac{m+8△m}{9△m}$$\sqrt{\frac{g{R}_{0}^{2}}{R}}$的對地速度向前噴出．

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力提供向心力，以及萬有引力等于重力進行列式求解衛星的速度．