Question

18．如圖所示，電阻不計的兩光滑金屬導軌相距L固定在水平絕緣桌面上，其中半徑為R的$\frac{1}{4}$圓弧部分處在豎直平面內，水平直導軌部分處在磁感應強度為B、方向豎直向下的勻強磁場中，末端平齊．在與圓心等高的位置處有兩金屬棒MN、PQ垂直兩導軌且與導軌接觸良好．已知MN棒的質量為2m，電阻為r；PQ棒的質量為m，電阻也為r．開始時，保持PQ棒不動，將MN棒從圓弧導軌頂端無初速度釋放，當MN棒脫離導軌后，再次由靜止釋放PQ棒，最后兩棒都離開導軌落到地面上．MN、PQ兩棒落地點到導軌邊緣的水平距離之比為1：3．
（1）求MN棒在水平直導軌上滑行的最大加速度a；
（2）求MN棒在導軌上滑行過程中，MN棒產生的焦耳熱Q；
（3）若MN棒在導軌上滑行的過程中通過導軌某一橫截面的電荷量為q，求PQ棒在水平直導軌上滑行的時間t．

Answer 1

分析 （1）MN棒剛進入水平導軌時，MN棒受到的安培力最大，此時它的加速度最大．根據MN棒從圓弧導軌滑下機械能定恒求解進入磁場之前的速度大小，由E=BLv、I=$\frac{E}{2r}$、F=BIL結合求出安培力，即可由牛頓第二定律求解最大加速度．
（2）兩棒開導軌做平拋運動，根據平拋運動的規律和水平位移之比求解，根據根據動量定恒和能量定恒求解兩棒在軌道上運動過程產生的焦耳熱；
（3）根據閉合電路歐姆定律，結合電量表達式，及運動學公式，即可求解．

解答 解：（1）由題意可知，MN棒剛滑到水平導軌時，其速度達到最大．
設MN棒進入水平導軌的速度為v₀，MN棒從圓弧導軌滑下機械能定恒：
 2mgR=$\frac{1}{2}$×2mv₀²
解得：v₀=$\sqrt{2gR}$
MN棒剛進入水平導軌時，設此時回路的感應電動勢為E，
 E=BLv 
感應電流 I=$\frac{E}{2r}$
MN棒受到的安培力為：F_MN=BIL
根據牛頓第二定律，MN棒有最大加速度為
 a=$\frac{{F}_{MN}}{2m}$
聯立①～⑥解得：
 a=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\sqrt{2gR}}{4mr}$
（2）經分析可知，當MN棒離開導軌后，當PQ棒滑上水平導軌后，以v₀做勻速直線運動，設MN棒離開導軌時的速度大小為v₁，兩棒做平拋運動歷時均為t₀，則有：
$\frac{{v}_{0}{t}_{0}}{{v}_{1}{t}_{0}}=\frac{3}{1}$，
由于MN棒和PQ棒的電阻相同，可知，MN棒在導軌上滑行的過程中，
由能量守恒定律，則有：2Q=2mgR-$\frac{1}{2}×2m{v}_{1}^{2}$
解得：Q=$\frac{8}{9}mgR$；
（3）設導軌水平部分的長度為x，MN棒在水平導軌上滑行的時間為△t，則MN棒在水平導軌滑行過程中，回路中的平均感應電流為：$\overline{I}$=$\frac{BLx}{△t（r+r）}$
又q=$\overline{I}$•△t
PQ棒在水平導軌滑行的過程中，做勻速直線運動，則有：x=v₀t；
解得：t=$\frac{qr}{BLgR}\sqrt{2gR}$
答：（1）MN棒在水平直導軌上滑行的最大加速度$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\sqrt{2gR}}{4mr}$；
（2）MN棒在導軌上滑行過程中，MN棒產生的焦耳熱$\frac{8}{9}mgR$；
（3）若MN棒在導軌上滑行的過程中通過導軌某一橫截面的電荷量為q，求PQ棒在水平直導軌上滑行的時間$\frac{qr}{BLgR}\sqrt{2gR}$．

點評 本題是電磁感應與電路、磁場、力學等知識的綜合應用，根據牛頓第二定律求加速度，以及結合運動學能夠分析出金屬棒的運動情況．考查分析和處理綜合題的能力．