Question

（1）宇航員在地球表面以一定初速度豎直上拋一小球，經過時間t小球落回原處；若他在某星球表面以相同的初速度豎直上拋同一小球，需經過時間5t小球落回原處．（取地球表面重力加速度g=10m/s²，空氣阻力不計），已知該星球的半徑與地球半徑之比為R_星：R_地=1：4，求該星球的質量與地球質量之比M_星：M_地．
（2）固定光滑細桿與地面成一定傾角，在桿上套有一個光滑小環，小環在沿桿方向的推力F作用下向上運動，推力F與小環速度v隨時間變化規律如圖所示，取重力加速度g=10m/s²．求：細桿與地面間的傾角α．

Answer 1

分析：（1）根據運動學公式求出地球和星球表面的重力加速度之比，根據萬有引力等于重力，求出星球和地球的質量比．
（2）由速度時間圖象可知，小環先做勻加速直線運動，后做勻速直線運動，由v-t圖象的斜率求得加速度，根據牛頓第二定律和平衡條件分別對前2s內和2s后的過程列式，即可求出α．

解答：解：（1）豎直上拋的小球運動時間 t=

2v0

g

，所以g_星=

1

5

g_地=2m/s²，
根據mg=G

Mm

R2

，得M=

gR2

G

，
可解得：M_星：M_地=1×1²：5×4²=1：80，
（2）由圖得：0-2s內小環的加速度 a=

v

t

=0.5m/s²，
前2s有：F₂-mg sinα=ma，
2s后有：F₂=mg sinα，
代入數據可解得：m=1kg，α=30°．
答：
（1）該星球的質量與地球質量之比M_星：M_地為1：80．
（2）細桿與地面間的傾角α為30°．

點評：解決第1題的關鍵知道豎直上拋運動上升階段和下降階段是對稱的，以及掌握萬有引力等于重力這一理論．
第2題關鍵要能根據速度分析小環運動情況，知道斜率等于加速度，即可根據牛頓第二定律和平衡條件進行求解．