Question

要發射一顆人造地球衛星，使它在半徑為r₂的預定軌道上繞地球做勻速圓周運動，為此先將衛星發射到半徑為r₁的近地暫行軌道上繞地球做勻速圓周運動．如圖所示，在A點，使衛星速度增加，從而使衛星進入一個橢圓的轉移軌道上，當衛星到達轉移軌道的遠地點B時，再次改變衛星速度，使它進入預定軌道運行．試求：
（1）衛星在近地暫行軌道上的運行周期；
（2）衛星從A點到B點所需的時間．已知地球表面的重力加速度大小為g，地球的半徑為R．

Answer 1

分析：（1）根據萬有引力提供向心力求解．
（2）根據開普勒第三定律，由半徑為r₁與半徑為r₂可求出橢圓軌道的周期，從而確定衛星從A點到B點所需的時間為t．

解答：解：（1）根據萬有引力提供向心力，由于衛星貼近地球表面，
則有：G

mM

r 2 1

=m(

2π

T

)2r1      （1）
 黃金代換式：GM=g

r

2 1

         （2）
由（1）（2）解之得：T=

2πr1

R

r1 g

     （3）
（2）根據開普勒第三定律，即

r 3 1

T2

=

(r1+r2)3

T′2

  （4）
因為tAB=

T

2

                  （5）
由（3）（4）（5）聯立解得：
  tAB=

π(r1+r2)

2R

r1+r2 2g

 
答：（1）衛星在近地暫行軌道上的運行周期

2πr1

R

r1 g

；
（2）衛星從A點到B點所需的時間為tAB=

π(r1+r2)

2R

r1+r2 2g

．

點評：解決本題的關鍵掌握萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力兩知識點，以及會用開普勒第三定律解題．