Question

（2009?青浦區一模）如圖，一個很長的豎直放置的圓柱形磁鐵，產生一個輻射狀的磁場（磁場水平向外），其大小為B=K/r，r為半徑，設一個與磁鐵同軸的圓形鋁環，半徑為R（大于圓柱形磁鐵半徑），而彎成鋁環的鋁絲其截面積為S，鋁絲電阻率為ρ，密度為ρ₀．鋁環通過磁場由靜止開始下落，下落過程中鋁環平面始終保持水平．試求：
（1）鋁環下落速度為v時的電功率？
（2）鋁環下落的最終速度？
（3）當下落h高度時，速度最大，此過程中圓環消耗的電能？

Answer 1

分析：（1）根據電阻定律求出圓環的電阻，根據法拉第電磁感應定律求出切割磁感線產生的電動勢，根據電功率的表達式求解．
（2）當圓環加速度為零時，有最大速度，由平衡條件求解．
（3）由能量守恒定律求解．

解答：解：（1）由題意知圓環所在處的磁感應強度B=

K

R

，圓環的有效切割長度為其周長，即L=2πR，
圓環的電阻R₀=ρ

L

S

=ρ

2πR

S

，當圓環的速度為v時，切割磁感線產生的電動勢E=BLv=2kπv，
圓環中的電流I=

KvS

ρR

，圓環速度為v時電功率P=I²R₀
聯立以上各式解得：P=

2πSk2v2

ρR

（2）當圓環加速度為零時，有最大速度v_m，此時安培力F=BIL=

2πSk2 vm

ρR

由平衡條件可知：mg=F，圓環的質量m=ρ₀S?2πR
 解得：v_m=

ρρ0gR2

k2

（3）由能量守恒定律得：
mgh=

1

2

m

v

2 m

+Q 
解得：Q=2πρ₀RS[gh-

1

2

（

ρρ0gR2

k2

）²]
答：（1）鋁環下落速度為v時的電功率是

2πSk2v2

ρR

（2）鋁環下落的最終速度是

ρρ0gR2

k2

（3）當下落h高度時，速度最大，此過程中圓環消耗的電能是2πρ₀RS[gh-

1

2

（

ρρ0gR2

k2

）²]．

點評：解決該題關鍵是把電磁感應與電路知識，能量守恒定律結合起來求解．