Question

（14分）如圖所示，相距為R的兩塊平行金屬板M、N正對著放置，S₁、S₂分別為M、N板上的小孔，S₁、S₂、O三點共線，它們的連線垂直M、N，且S₂O＝R.以O為圓心、R為半徑的圓形區域內存在磁感應強度為B、方向垂直紙面向外的勻強磁場．D為收集板，板上各點到O點的距離以及板兩端點的距離都為2R，板兩端點的連線垂直M、N板．質量為m、帶電量為＋q的粒子經S₁進入M、N間的電場后，

通過S₂進入磁場．粒子在S₁處的速度以及粒子所受的重力均不計．

(1)當M、N間的電壓為U時，求粒子進入磁場時速度的大小v；

(2)若粒子恰好打在收集板D的中點上，求M、N間的電壓值U₀；

(3)當M、N間的電壓不同時，粒子從S₁到打在D上經歷的時間t會不同，求t的最小值．

 

Answer 1

【答案】

(1)  (2)  (3) …

【解析】(1)粒子從S₁到達S₂的過程中，根據動能定理得

qU＝mv²    ①

解得粒子進入磁場時速度的大小v＝  

(2)粒子進入磁場后在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動，有

qvB＝m  ②

由①②得，加速電壓U與軌跡半徑r的關系為U＝

當粒子打在收集板D的中點時，粒子在磁場中運動的半徑r₀＝R

對應電壓U₀＝ 

(3)M、N間的電壓越大，粒子進入磁場時的速度越大，粒子在極板間經歷的時間越短，同時在磁場中運動軌跡的半徑越大，在磁場中運動的時間也會越短，出磁場后勻速運動的時間也越短，所以當粒子打在收集板D的右端時，對應時間t最短．

根據幾何關系可以求得，對應粒子在磁場中運動的半徑r＝R

由②得粒子進入磁場時速度的大小v＝＝ 

粒子在電場中經歷的時間t₁＝＝ 

粒子在磁場中經歷的時間t₂＝＝ 

粒子出磁場后做勻速直線運動經歷的時間t₃＝＝  

粒子從S₁到打在收集板D上經歷的最短時間為t＝t₁＋t₂＋t₃＝…

本題考查帶電粒子在復合場中的運動，電場力做功等于粒子動能的變化量，由此可求得粒子進入磁場時的速度大小，根據粒子的偏轉半徑和洛倫茲力提供向心力可求得電壓大小，當粒子打在收集板D的中點時，粒子在磁場中運動的半徑與磁場半徑相等，由此可求得臨界電壓大小，M、N間的電壓越大，粒子進入磁場時的速度越大，粒子在極板間經歷的時間越短，同時在磁場中運動軌跡的半徑越大，在磁場中運動的時間也會越短，出磁場后勻速運動的時間也越短，所以當粒子打在收集板D的右端時，對應時間t最短，先找圓心后求半徑，根據半徑公式求得粒子在磁場中的速度，根據圓心角求偏轉時間