Question

如圖所示，相距為R的兩塊平行金屬板M、N正對(duì)著放置，s₁、s₂分別為M、N板上的小孔，s₁、s₂、O三點(diǎn)共線，它們的連線垂直M、N，且s₂O=R．以O(shè)為圓心、R為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．D為收集板，板上各點(diǎn)到O點(diǎn)的距離以及板兩端點(diǎn)的距離都為2R，板兩端點(diǎn)的連線垂直M、N板．質(zhì)量為m、帶電量為+q的粒子，經(jīng)s₁進(jìn)入M、N間的電場(chǎng)后，通過s₂進(jìn)入磁場(chǎng)．粒子在s₁處的速度和粒子所受的重力均不計(jì)．
（1）若粒子恰好打在收集板D的中點(diǎn)上，求M、N間的電壓值U₀；
（2）當(dāng)M、N間的電壓不同時(shí)，粒子從s₁到打在D上經(jīng)歷的時(shí)間t會(huì)不同，求t的最小值．

Answer 1

分析：（1）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，粒子恰好打在收集板D的中點(diǎn)上時(shí)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)

1

4

圓弧，軌跡半徑等于R，根據(jù)牛頓第二定律和動(dòng)能定理求解M、N間的電壓．
（3）粒子從s₁到打在D上經(jīng)歷的時(shí)間t等于在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間、磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間和穿出磁場(chǎng)后勻速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之和．M、N間的電壓越大，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度越大，在極板間經(jīng)歷的時(shí)間越短，同時(shí)在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑越大，在磁場(chǎng)中粒子磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)角度越小，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間也會(huì)越短，出磁場(chǎng)后勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間也越短，故當(dāng)粒子打在收集板D的右端時(shí)，對(duì)應(yīng)時(shí)間t最短．根據(jù)幾何知識(shí)求出打在D的右端時(shí)軌跡半徑，根據(jù)前面的結(jié)果求出粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出三段時(shí)間．

解答：解：（1）粒子從s₁到達(dá)s₂的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理得qU₀=

1

2

mv²①
解得 v=

2qU m

粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有qvB=m

v2

r

②
由①②得加速電壓U與軌跡半徑r的關(guān)系為 U=

qB2r2

2m

當(dāng)粒子打在收集板D的中點(diǎn)時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑r₀=R
對(duì)應(yīng)電壓 U₀=

qB2R2

2m

（3）M、N間的電壓越大，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度越大，粒子在極板間經(jīng)歷的時(shí)間越短，同時(shí)在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑越大，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間也會(huì)越短，出磁場(chǎng)后勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間也越短，所以當(dāng)粒子打在收集板D的右端時(shí)，對(duì)應(yīng)時(shí)間t最短．
根據(jù)幾何關(guān)系可以求得粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑r=

3

R
由 ②得粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度的大小：v=

qBr

m

粒子在電場(chǎng)中經(jīng)歷的時(shí)間：t₁=

R

1 2 v

=

2 3 m

3qB

粒子在磁場(chǎng)中經(jīng)歷的時(shí)間：t₂=

3 R? π 3

v

=

πm

3qB

粒子出磁場(chǎng)后做勻速直線運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間：t₃=

R

v

=

3 m

3qB

粒子從s₁到打在收集板D上經(jīng)歷的最短時(shí)間為：t=t₁+t₂+t₃=

(3 3 +π)m

3qB

答：（1）粒子恰好打在收集板D的中點(diǎn)上，M、N間的電壓值U₀是

qB2R2

2m

；
（2）粒子從s₁到打在收集板D上經(jīng)歷的最短時(shí)間為

(3 3 +π)m

3qB

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查分析和處理粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡問題，難點(diǎn)在于分析時(shí)間的最小值，也可以運(yùn)用極限分析法分析．