Question

18．設地球的半徑為R_o，質量為m的衛星在距地面R_o高處做勻速圓周運動，地面的重力加速度為g，則（　　）

• A． 衛星的線速度為$\frac{{\sqrt{2g{R_o}}}}{2}$
• B． 衛星的角速度為$\sqrt{\frac{g}{{8{R_o}}}}$
• C． 衛星的加速度為$\frac{g}{2}$
• D． 衛星的周期為$2π\sqrt{\frac{{8{R_o}}}{g}}$

Answer 1

分析 根據萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}=m{ω}_{\;}^{2}r=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{t}_{\;}^{2}}r=ma$，萬有引力等于重力$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$，求出衛星的線速度、角速度、周期和加速度．

解答 解：A、在地球的表面，萬有引力等于重力$G\frac{Mm}{{R}_{0}^{2}}=mg$，得$GM=g{R}_{0}^{2}$，根據萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$，得$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}=\sqrt{\frac{g{R}_{0}^{2}}{2{R}_{0}^{\;}}}=\sqrt{\frac{g{R}_{0}^{\;}}{2}}=\frac{\sqrt{2g{R}_{0}^{\;}}}{2}$，故A確；
B、衛星的角速度：$ω=\sqrt{\frac{GM}{{r}_{\;}^{3}}}=\sqrt{\frac{g{R}_{0}^{2}}{（2{R}_{0}^{\;}）_{\;}^{2}}}=\sqrt{\frac{g}{8{R}_{0}^{\;}}}$，故B正確；
C、衛星的加速度$a=\frac{GM}{{r}_{\;}^{2}}=\frac{g{R}_{0}^{2}}{（2{R}_{0}^{\;}）_{\;}^{2}}=\frac{g}{4}$，故C錯誤；
D、衛星的周期$T=2π\sqrt{\frac{{r}_{\;}^{3}}{GM}}=2π\sqrt{\frac{（2{R}_{0}^{\;}）_{\;}^{3}}{g{R}_{0}^{2}}}=2π\sqrt{\frac{8{R}_{0}^{\;}}{g}}$，故D正確；
故選：ABD

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}=m{ω}_{\;}^{2}r=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r=ma$以及萬有引力等于重力$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$