Question

19．如圖所示，AO、BO、CO、AD是豎直面內四根固定的光滑細桿，與水平面的夾角依次是60°、45°、30°和90°，每根桿上都套著一個小滑環（可視為質點，圖中未畫出），四個滑環分別從各細桿頂端無初速釋放（運動過程中各環互不影響），用t₁、t₂、t₃、t₄分別表示細桿AO、BO、CO、AD上的滑環到達底端所用的時間，則t₁、t₂、t₃、t₄的大小關系是t₁=t₃＞t₂＞t₄．

Answer 1

分析 研究斜面是任意角時滑環運動到O所用的時間，由牛頓第二定律得出滑環的加速度，由位移公式得到時間與斜面傾角的關系，由數學知識分析時間的關系．

解答 解：設OD=d，任意一斜面的傾角為α，設滑環在斜面上下滑的加速度為a，滑環從斜面的頂點滑到O的時間為t．
由牛頓第二定律得：a=$\frac{mgsinα}{m}$=gsinα，滑環從斜面的頂點滑到D的位移為 x=$\fracp9vv5xb5{cosα}$．
由x=$\frac{1}{2}$at²得，t=$\sqrt{\frac{2x}{a}}$=$\sqrt{\frac{2d}{cosα•gsinα}}$=$\sqrt{\frac{4d}{gsin2α}}$
由數學知識得知，sin（2×60°）=sin（2×30°），sin（2×45°）=1最大，則知t₁=t₃＞t₂．
滑環在AD上的滑環到達D點時，由 $\sqrt{3}$d=$\frac{1}{2}g{t}_{AD}^{2}$，得 t_AD=$\sqrt{\frac{2\sqrt{3}d}{g}}$
到達D點的速度大小為 v=gt_AD=$\sqrt{2\sqrt{3}gd}$
從D到O的時間 t_DO=$\fracp9vv5xb5{v}$=$\sqrt{\fracp9vv5xb5{2\sqrt{3}g}}$
故 t₄=t_AD+t_DO=$\sqrt{\frac{2\sqrt{3}d}{g}}$+$\sqrt{\fracp9vv5xb5{2\sqrt{3}g}}$＜$\sqrt{\frac{4d}{g}}$=t₂
綜上有 t₁=t₃＞t₂＞t₄
故答案為：t₁=t₃＞t₂＞t₄．

點評 本題是牛頓第二定律和運動學公式的綜合應用，關鍵要抓住三個過程相同的量表示位移和加速度，從而表示出時間．