Question

18．如圖所示，在某豎直平面內，光滑曲面AB與水平面BC平滑連接于B點，BC右端連接內壁光滑、半徑r=0.2m的四分之一細圓管CD，管口D端正下方直立一根勁度系數為k=100N/m的輕彈簧，彈簧一端固定，另一端恰好與管口D端平齊．一個質量為1kg的小球放在曲面AB上，現從距BC的高度為h=0.6m處靜止釋放小球，它與BC間的動摩擦因數μ=0.5，小球進入管口C端時，它對上管壁有F_N=2.5mg的相互作用力，通過CD后，在壓縮彈簧過程中滑塊速度最大時彈簧的彈性勢能為E_p=0.5J．取重力加速度g=10m/s²．求：
（1）小球到達C點時的速度大小；
（2）在壓縮彈簧過程中小球的最大動能E_km．

Answer 1

分析 （1）小球進入管口C端時，對小球進行受力分析，由牛頓第二定律和向心力知識求小球到達C點時的速度；
（2）小球在壓縮彈簧過程中速度最大時，合力為零，由此求彈簧的壓縮量，然后結合機械能守恒即可求出小球的最大動能．

解答 解：（1）小球剛過C點時，由牛頓第二定律有：
F_N+mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{r}$
代入數據解得：v_C=$\sqrt{7}$m/s
（2）在壓縮彈簧過程中速度最大時，合力為零．設此時滑塊離D端的距離為x₀，則有：kx₀=mg
由機械能守恒定律有：mg（r+x₀）+$\frac{1}{2}$mv_C²=E_km+E_p
得：E_km=6J
答：（1）小球到達C點時的速度大小是$\sqrt{7}$m/s；
（2）在壓縮彈簧過程中小球的最大動能E_km是6J．

點評 解決本題的關鍵要明確小球的受力情況和能量轉化情況．要知道在C點，小球的向心力來源于合力．小球壓縮彈簧時合力為零時速度最大．