Question

10．如圖所示，AB為光滑圓弧形軌道，半徑R=2.5m，圓心角為60°，質量M=4kg的小車（緊靠B點）靜止在光滑水平面上，上表面離地高度h=0.8m，且與B點的等高，右側很遠處有一個和小車等高的障礙物C（厚度可忽略），DE是以恒定速率15m/s轉動的傳送帶，D點位于水平面上．有一可視為質點m=1kg的物體，從A點靜止釋放，在B點沖上小車時，小車立即受到一水平向右恒力F的作用，當物塊滑到小車最右端時，二者恰好相對靜止，同時撤掉恒力F，然后小車撞到障礙物C后立即停止運動，物塊沿水平方向飛出，在D點恰好無磁撞地切入傳送帶，并沿著傳送帶下滑．已知物塊與小車間的動摩擦因數μ₁=0.2，與傳送帶的動摩擦因數為μ₂=$\frac{1}{3}$，傳送帶長度為s=28m，與水平面的夾角為53°（取g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6）．求：
（1）物塊滑到B點的速度大小v₀和物塊飛離小車的水平速度大小v；
（2）恒力F的大小和小車的長度L；
（3）物塊在傳送帶上的運動時間t及在傳送帶上由于摩擦產生的內能Q．

Answer 1

分析 （1）由機械能守恒定律求出物塊滑到B點的速度大小v₀，研究小車撞到障礙物C后物塊沿水平方向飛出的過程，該過程物塊做平拋運動，下落的高度為h，到達D點時速度與水平方向的夾角為53°，由h求得下落到D點時豎直分速度，再由速度分解法求得物塊飛離小車的水平速度大小v和物塊滑到B點的速度大小v₀．
（2）物塊在小車上運動的過程中做勻減速運動，由速度時間公式求出物塊在小車上滑行的時間．再對小車，由牛頓第二定律和速度公式結合求F，由位移公式求出物塊與小車的位移，兩者之差即等于小車的長度L．
（3）分析物塊在傳送帶上的運動情況，由牛頓第二定律和運動學公式求時間t，求得兩者的相對位移，即可求得內能Q．

解答 解：（1）物塊從A到B的過程，由機械能守恒定律得：
mgR（1-cos60°）=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
代入數據得：v₀=5m/s
小車撞到障礙物C后物塊做平拋運動，則有：
h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
代入數據得：t=0.4s
物塊到達D點時豎直分速度大小為：v_y=gt=10×0.4=4m/s
速度與水平方向的夾角為53°，則物塊飛離小車的水平速度大小為：
 v=v_ycot53°=4×$\frac{3}{4}$=3m/s
（2）物塊在小車滑行的加速度大小為：
a_m=$\frac{{μ}_{1}mg}{m}$=μ₁g=0.2×10=2m/s²．
物塊在小車上滑行的時間為：
t=$\frac{{v}_{0}-v}{{a}_{m}}$=$\frac{5-3}{2}$=1s
則小車在此過程中的加速度為：
a_M=$\frac{v}{t}$=$\frac{3}{1}$=3m/s²．
對小車，由牛頓第二定律得：
F-μ₁Mg=Ma_M．
代入數據解得：F=10N
小車的長度為：L=$\frac{{v}_{0}+v}{2}t$-$\frac{vt}{2}$=$\frac{{v}_{0}}{2}t$=$\frac{5×1}{2}$=2.5m；
（3）物塊剛滑上傳送帶時的初速度為：v₁=$\frac{{v}_{y}}{sin53°}$=$\frac{4}{0.8}$=5m/s
設傳送帶的速度為v_皮，則有：v_皮=15m/s
可知，物塊滑上傳送帶后先做勻加速運動，所受的滑動摩擦力沿斜面向下，加速度為：
a₁=$\frac{mgsin53°+{μ}_{2}mgcos53°}{m}$=g（sin53°+μ₂cos53°）
代入數據解得：a₁=10m/s²．
物塊速度從v₁增大到傳送帶速度的時間為：t₁=$\frac{{v}_{皮}-{v}_{1}}{{a}_{1}}$=$\frac{15-5}{10}$=1s
位移為：x₁=$\frac{{v}_{1}+{v}_{皮}}{2}{t}_{1}$=$\frac{5+15}{2}×1$=10m＜s=28m
共速后，由于mgsin53°＞μ₂mgcos53°，所以物塊繼續勻加速運動，加速度大小為：
a₂=$\frac{mgsin53°-{μ}_{2}mgcos53°}{m}$=g（sin53°-μ₂cos53°）
代入數據解得：a₂=6m/s²．
根據運動學公式得：s-x₁=v_皮t₂+$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{2}^{2}$
代入數據得：18=15t₂+3t₂²．
解得：t₂=1s（另一負值舍去）
所以物塊在傳送帶上的運動時間為：t_總=t₁+t₂=2s
物塊在傳送帶上由于摩擦產生的內能為：
Q=μ₂mgcos53°•[（v_皮t₁-x₁）+（s-x₁-v_皮t₂）]
代入數據解得：Q=16J
答：
（1）物塊滑到B點的速度大小v₀和物塊飛離小車的水平速度大小v分別為5m/s和3m/s；
（2）恒力F的大小是10N，小車的長度L是2.5m；
（3）物塊在傳送帶上的運動時間t是2s，在傳送帶上由于摩擦產生的內能Q是16J．

點評 本題運動過程復雜，分析清楚物體運動過程是關鍵，要通過牛頓第二定律和運動學公式邊計算邊分析，要知道摩擦產生的內能與相對路程有關．