Question

（2011?普陀區二模）如圖所示（a），在傾角為30⁰的斜面上固定一光滑金屬導軌CDEFG，OH∥CD∥FG，∠DEF=60°，CD=DE=EF=FG=AB/2=L，一根質量為m的導體棒AB在電機的牽引下，以恒定的速度v₀沿OH方向從斜面底部開始運動，滑上導軌并到達斜面頂端，AB⊥OH，金屬導軌的CD、FG段電阻不計，DEF段與AB棒材料、橫截面積均相同，單位長度電阻為r，O是AB棒的中點，整個斜面處在垂直斜面向上磁感應強度為B的勻強磁場中．求：
（1）導體棒在導軌上滑行時電路中的電流的大小；
（2）導體棒運動到DF位置時AB兩端的電壓；
（3）將導體棒從低端拉到頂端電機對外做的功；
（4）若AB到頂端后，控制電機的功率，使導體棒AB沿斜面向下從靜止開始做勻加速直線運動，加速度大小始終為a，一直滑到斜面底端，則此過程中電機提供的牽引力隨時間如何變化？（運動過程中AB棒的合力始終沿斜面向下）．

Answer 1

分析：（1）導體棒在導軌上滑行時，根據感應電動勢公式得出電動勢與有效長度的關系，由題意得到電阻與有效長度的關系，根據歐姆定律得到導體棒在導軌DEF上滑動時電路中電流的大小；
（2）AB兩端的電壓等于AD、DF、FB三段感應電動勢之和．AD、FB兩段電壓等于感應電動勢．DF段根據電壓分配求出．
（3）根據功能關系可知，導體棒從底端拉到斜面頂端過程電機對桿做的功等于導體棒增加的重力勢能與電路產生的熱量之和．AB棒在DEF上滑動時產生的電熱Q₁，數值上等于克服安培力做的功．
（4）分三段討論牽引力隨時間的變化情況：CDEF導軌上、DEF導軌上和OE段．導體棒做勻加速運動，加速度為a．根據牛頓第二定律、運動學公式及各段感應電流、安培力的表達式結合得到牽引力隨時間的變化情況．

解答：解：（1）導體棒在導軌上勻速滑行時，設AB棒等效切割長度為l，則
  導體棒在導軌上ε=BLV₀
  回路總電阻為R_總=3Lr
  則感應電流為I=

ε

R總

所以，I=

BV0

3r

（2）AB棒滑到DF處時，AB兩端的電壓U_BA=U_DA+U_FD+U_BF
  U_DA+U_BF=BLv₀
而U_DF=

2lr

3lr

BLv0=

2

3

BLv0
得U_BA=U_DA+U_FD+U_BF=

5

3

BLv0
（3）導體棒從低端拉到頂端電機做的功W=△E_P+Q₁+Q₂
增加的重力勢能：△EP=mg(2L+Lcos300)sin300=

4+ 3

4

mgL
   AB棒在DEF軌道上滑動時產生的熱量 Q₁=W_安，
此過程中，電流I不變，所以F_安∝S，故Q1=W安=

0+F安max

2

?

3

2

L=

3 B2L2V0

12r

AB棒在CDEF導軌上滑動時產生的熱量，電流不變，電阻不變，所以
 Q2=I2R總t=(

BV0

3r

)2?3Lr?

L

V0

=

B2L2V0

3r

所以，W=

4+ 3

4

(mgL+

B2L2V0

3r

)
（4）分三段討論牽引力隨時間的變化情況
Ⅰ：CDEF導軌上運動牽引力為F₁，則mgsin30°-F_安-F₁=ma，F_安=BIL，I=

BLVt

3Lr

，V_t=at，F1=

1

2

mg-ma-

B2La

3r

t
Ⅱ：DEF導軌上運動牽引力為F₂，則mgsin30°-F_安-F₂=ma，F_安=BIx，I=

BxVt

3xr

=

BV0

3r

，V_t=at，

1

2

at2=L+

3

2

L-

3

2

x，
所以F2=

1

2

mg-ma-

B2a

3r

[

2 3 +3

3

L-

3

3

at2]2t
Ⅲ：OE段運動牽引力F₃，不隨時間變化，則
F3=

1

2

mg-ma 
答：
（1）導體棒在導軌上滑行時電路中的電流的大小為

Bv0

3r

；
（2）導體棒運動到DF位置時AB兩端的電壓為

5

3

BLv0；
（3）將導體棒從低端拉到頂端電機對外做的功是

4+ 3

4

(mgL+

B2L2V0

3r

)；
（4）此過程中電機提供的牽引力隨時間變化情況是：
Ⅰ：CDEF導軌上運動牽引力為F1=

1

2

mg-ma-

B2La

3r

t
Ⅱ：DEF導軌上運動牽引力為F2=

1

2

mg-ma-

B2a

3r

[

2 3 +3

3

L-

3

3

at2]2t
Ⅲ：OE段運動牽引力F₃，不隨時間變化，F3=

1

2

mg-ma．

點評：本題難點在于求AB棒在DEF上滑動時產生的電熱，根據導體棒克服安培力做功求解．容易出現的錯誤有兩處：一是求AB的電壓只考慮DF段電壓．二是AB棒在DEF上滑動的距離當作Lsin30°．