Question

如圖，真空室內存在勻強磁場，磁場方向垂直于紙面向里，磁感應強度的大小B=0.60T，場區足夠寬，磁場內有一塊平面感光薄板ab，板面與磁場方向平行，在距ab的距離l=16cm處，ab中垂線上有一個點狀的α放射源S，它向各個方向發射α粒子（氦核），α粒子的速度都是v=3.0×10⁶m/s，已知α粒子的電荷與質量之比q/m=5.0×10⁷C/kg，現只考慮在圖紙平面中運動的α粒子，
（1）若ab長度為20cm，求ab下側被α粒子打中的區域的長度．
（2）要使ab上側能全部被α粒子打中，ab的長度應為多大？

Answer 1

分析：（1）α粒子在該磁場中的運動由洛倫茲力提供向心力做勻速圓周運動．軌跡在圖中N左側與ab相切時，此切點P₁就是α粒子能打中的左側最遠點．任何α粒子在運動中離S的距離不可能超過軌跡直徑2R，根據幾何關系求解ab下側被α粒子打中的區域的長度．
（2）要全部打中ab上側，ab的長度應在圖示的圓內，根據幾何關系可求得ab的長度．

解答：解：（1）α粒子帶正電，故在磁場中沿逆時針方向做勻速圓周運動，
用R表示軌道半徑，有 qvB=m

v2

R

…①

由此得：R=

mv

qB

代入數值得：R=10cm．
可見，2R＞l＞R．
因朝不同方向發射的α粒子的圓軌跡都過S，由此可知，某一圓軌跡在圖中N左側與ab相切，則此切點P₁就是α粒子能打中的左側最遠點．為定出P₁點的位置，可作平行于ab的直線cd，cd到ab的距離為R，以S為圓心，R為半徑，作弧交cd于Q點，過Q作ab的垂線，它與ab的交點即為P₁.NP1=

R2-(l-R)2

，
解得：NP₁=8cm…②
再考慮N的右側．任何α粒子在運動中離S的距離不可能超過2R，以2R為半徑、S為圓心作圓，交ab于N右側的P₂點，
由圖中幾何關系得：NP2=

(2R)2-l2

，
解得：NP₂=12cm…③
由于右側實際長度Nb=10cm＜NP═12cm，應取Nb=10cm．
所以所求長度為：P₁P₂=NP₁+Nb=18cm…④
（2）要全部打中ab上側，ab的長度應在圖示的圓內，

根據幾何知識可得：cb²=sc×（2R-sc），
解得：cb=8cm，
所以ab＜16cm時就能打中ab上側．
答：（1）ab下側被α粒子打中的區域的長度為18cm．
（2）要使ab上側能全部被α粒子打中，ab的長度應小于16cm．

點評：帶電粒子在磁場中的運動解題的關鍵在于確定圓心和半徑，然后再由幾何關系即可求得要求的問題．