Question

8．如圖所示，半徑R=0.8m的光滑$\frac{1}{4}$圓弧軌道固定在光滑水平面上，軌道上方的A點有一個可視為質點的質量m=1kg的小物塊．小物塊由靜止開始下落后打在圓弧軌道上的B點但未反彈，此后小物塊將沿著圓弧軌道滑下．已知A點與軌道的圓心O的連線長也為R，且AO連線與水平方向的夾角為30°，C點為圓弧軌道的末端，緊靠C點有一質量M=3kg的長木板，木板的上表面與圓弧軌道末端的切線相平，小物塊與木板間的動摩擦因數μ=0.3，g取10m/s²．求：
（1）小物塊剛到達B點時的速度v_B；
（2）小物塊沿圓弧軌道到達C點時對軌道壓力F_C的大小；
（3）木板長度L至少為多大時小物塊才不會滑出長木板？

Answer 1

分析 （1）研究小物塊自由下落的過程，根據動能定理求出小物塊剛到B點的速度大小．
（2）根據平行四邊形定則求出物塊到達B點時沿圓弧切線方向的速度大小．根據動能定理求出小物塊滑到C點的速度大小，根據牛頓第二定律求出支持力的大小，從而得出物塊對長木板的壓力大小．
（3）結合動量守恒定律和能量守恒定律求出長木板的最小長度．

解答 解：（1）物體從A到B的過程，根據動能定理得：
   mg.2Rsin30°=$\frac{1}{2}$mv_B²
解得 v_B=$\sqrt{2gR}$=$\sqrt{2×10×0.8}$=4m/s．
（2）小物塊剛到達B點時沿圓弧切線方向的速度大小 v_B′=v_Bcos30°=2$\sqrt{3}$m/s．
從B到C的過程，根據動能定理得：
  mg•$\frac{1}{2}$R=$\frac{1}{2}$mv_C²-$\frac{1}{2}$mv_B^′2
代入數據解得 v_C=2$\sqrt{5}$（m/s）
在C點，根據牛頓第二定律得
   F_C′-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
解得  F_C′=35N
則小物塊滑到C點時對長木板的壓力大小為 F_C=F_C′=35N．
（3）設物塊與木板相對靜止時共同速度為v．取向右為正方向，根據動量守恒定律得：
 mv_c=（M+m）v
根據能量守恒得
   fL=$\frac{1}{2}$mv_C²-$\frac{1}{2}$（M+m）v²
聯立兩式解得 L=2.5m．
所以要使小物塊不滑出長木板，長木板長度L至少為2.5m．
答：
（1）小物塊剛到達B點時的速度大小為4m/s．
（2）小物塊滑到C點時對長木板F_C的壓力大小為35N．
（3）要使小物塊不滑出長木板，長木板長度L至少為2.5m．

點評 本題關鍵要理清物體各個階段的運動規律，知道物塊在長木板上運動時遵守動量守恒定律和能量守恒定律，摩擦生熱與相對位移有關．