Question

（17分）如圖所示，一個(gè)長L₁＝0.9m、寬L₂＝0.6m的光滑斜面體，其傾角θ＝30°。有一長度L＝0.4m的輕質(zhì)繩一端固定在距斜面頂點(diǎn)Ａ為L＝0.4m斜面邊緣的Ｏ點(diǎn)上，另一端系一質(zhì)量m=1kg的小球。現(xiàn)把小球拉至頂點(diǎn)Ａ處，以v₀＝1m/s的初速度沿斜面頂邊緣水平拋出。（g取10m/s²）

（1）剛開始小球做什么運(yùn)動(dòng)？并說明理由。

（2）求小球運(yùn)動(dòng)至斜面邊緣Ｂ點(diǎn)時(shí)受到繩子的拉力Ｆ_T。

（3）若小球運(yùn)動(dòng)至Ｂ點(diǎn)時(shí)繩子剛好斷了，求小球從斜面上飛出后落地點(diǎn)與最初拋出點(diǎn)在地面上投影點(diǎn)的距離L₃。

Answer 1

解析：

（1）小球沿斜面向下的加速度a＝=5m/s²　（1分）

其在斜面上運(yùn)動(dòng)可等效看作在g′=a＝5m/s²的豎直平面上的曲線運(yùn)動(dòng)

由于小球剛拋出的速度v₀＜m/s，故其開始做類平拋運(yùn)動(dòng)（2分）

（2）如圖所示，設(shè)它運(yùn)動(dòng)時(shí)間t秒至與水平線的夾角為α時(shí)，繩子剛好拉直。由平拋運(yùn)動(dòng)公式有：

　　① 　（1分）

          ②   （1分）

①②聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得：

＝0°，t＝0.4s   　　　　（2分）

＝0°，說明小球拋至繩子在水平線時(shí)剛好拉直。在拉直瞬間，由于繩子不可伸長，故小球水平速度瞬間變?yōu)榱悖�只存在沿斜面向下的速�?I>v_y（1分）

v_y＝g′t＝5×0.4m/s=2m/s                       （1分）

以后小球在繩子束縛下沿斜面向下做圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)至Ｂ點(diǎn)時(shí)的速度為v₂。根據(jù)類機(jī)械能守恒定律，有：

mg′L＋mv_y²＝mv₂²                                              （1分）

代入數(shù)據(jù)解得：v₂=m/s                            （1分）

根據(jù)牛頓第二定律，有：              （1分）

代入數(shù)據(jù)解得：Ｆ_Ｔ=25Ｎ                             （1分）

（3）繩斷后小球以v_２做平拋運(yùn)動(dòng)，由題意知其高度h′=0.05m，設(shè)至落地所需時(shí)間為t′,

根據(jù)   解得：t′＝0.1s                    （1分）

平拋的水平位移x＝v₂ t′＝0.1m                （1分）

而本題斜面有效長度在地面投影長度Ｌ_４＝0.4m       （1分）

所求的距離          （1分）